Zápočtové príklady - lineárne priestory
1. Nech (X, ∥ · ∥) je normovaný lineárny priestor a A X vlastný (uzavretý) podpriestor. Dokážte,
že ak A má konečnú dimenziu, potom existuje jednotkový vektor x ∈ X tak, že ρ(x, A) = 1.
2. Dokážte, že množina
A =
{
{xk}∞
k=1 ⊆ l1
,
∞∑
k=1
xk = 0
}
je uzavretý lineárny podpriestor v normovanom priestore l1
.
3. Ukážte, že suprémová norma v priestore l∞
nie je generovaná žiadnym skalárnym súčinom.
4. Dokážte, že zobrazenie ⟨·, ·⟩ : C1
[−π, π] → R definované predpisom
⟨f, g⟩ :=
∫ π
−π
[f(t) g(t) + f′
(t) g′
(t)] dt, f, g ∈ C1
[−π, π],
je (reálny) skalárny súčin na lineárnom priestore C1
[−π, π]. Určte vzdialenosť funkcie f(t) = t
od podpriestoru Lin{sin t} v metrike indukovanej týmto skalárnym súčinom.
5. Nech X je komplexný lineárny priestor, t.j., vektorový priestor nad telesom C. Uvažujme nejaký
(komplexný) skalárny súčin ⟨·, ·⟩ na X a nech ∥ · ∥ je odpovedajúca norma na X indukovaná
týmto skalárnym súčinom. Overte, že platí
a) formula
⟨x, y⟩ =
∥x + y∥2
− ∥x − y∥2
4
+ i ·
∥x + iy∥2
− ∥x − iy∥2
4
, x, y ∈ X;
b) Cauchyho–Schwarzova–Buňakovského nerovnosť
|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥ · ∥y∥, x, y ∈ X;
c) rovnobežníkové pravidlo
∥x + y∥2
+ ∥x − y∥2
= 2
(
∥x∥2
+ ∥y∥2
)
, x, y ∈ X.
6. Nájdite ortogonálny doplnok lineárneho podpriestoru
A =
{
{xk}∞
k=1 ⊆ l2
,
∞∑
k=1
xk
k
= 0
}
v Hilbertovom priestore l2
. Je podpriestor A uzavretý v l2
?
1