Zápočtové príklady - metrické priestory
1. Nech M = {{xk}∞
k=1 ⊆ R}. Overte, že zobrazenie ρ : M × M → R definované
ρ(x, y) :=
∞∑
k=1
1
2k
·
|xk − yk|
1 + |xk − yk|
, x, y ∈ M,
je metrika na množine M. Dokážte, že metrický priestor (M, ρ) je úplný.
2. V daných metrických priestoroch uveďte príklad postupnosti, ktorá je ohraničená, ale nemá
žiadny hromadný bod v danom priestore (vzhľadom na príslušnú metriku).
a) priestor spojitých funkcií C[0, 1] s maximálnou metrikou;
b) priestory lp
, p ∈ [1, ∞), s odpovedajúcimi p-metrikami.
3. Dokážte, že množina
A =
{
{xk}∞
k=1 ⊆ l∞
, lim
k→∞
kxk = 0
}
nie je uzavretá v priestore l∞
.
4. Ukážte, že nasledujúce metrické priestory nie sú úplné a nájdite ich úplné obaly.
a) Priestor
M = {f ∈ C[0, 1], existuje εf ∈ (0, 1) tak, že f ≡ 0 na [0, εf ]}
s maximálnou metrikou.
b) Priestor
M =
{
{xk}∞
k=1 ⊆ l∞
, xk ̸= 0 iba pre konečne veľa indexov k ∈ N
}
so suprémovou metrikou.
5. Dokážte nasledujúce tvrdenia.
a) Množina
A =
{
f ∈ C1
[0, 1], max
t∈[0,1]
|f(t)| ≤ 1, max
t∈[0,1]
|f′
(t)| ≤ 1
}
nie je kompaktná v priestore C[0, 1] s maximálnou metrikou.
b) Množina
A =
{
{xk}∞
k=1 ⊆ l2
, |xk| ≤ 1/k, k ∈ N
}
je kompaktná v priestore l2
.
1