M6201 Příklady - fold bifurkace
Lenka Přibylová
pribylova@math.muni.cz
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
7. března 2020
Příklad
Nalezněte limitní body (body fold bifurkace) parametrické rovnice
˙x = 1 + αx − x3
, x ∈ R, α ∈ R.
Ověřte podmínky nedegenerovanosti a transverzality fold bifurkace. Podle
znaménka fα (x∗, α∗) a fxx (x∗, α∗) klasifikujte limitní bod. Nakreslete
bifurkační diagram.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 2 / 10
Rovnováha splňuje 1 + αx − x3 = 0, mohou být tedy až tři.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 3 / 10
Rovnováha splňuje 1 + αx − x3 = 0, mohou být tedy až tři. Limitní
bod větve rovnováh splňuje α − 3x2 = 0. Protože rovnováha nemůže
být nulová, je tato rovnice ekvivalentní rovnici αx − 3x3 = 0.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 3 / 10
Rovnováha splňuje 1 + αx − x3 = 0, mohou být tedy až tři. Limitní
bod větve rovnováh splňuje α − 3x2 = 0. Protože rovnováha nemůže
být nulová, je tato rovnice ekvivalentní rovnici αx − 3x3 = 0.
Odečtením
1 + αx − x3
= 0,
αx − 3x3
= 0
dostáváme 1 + 2x3 = 0, tedy x∗ = − 3 1
2 ≈ −0, 8 pro kritickou
hodnotu α∗ = 3(1
2 )2/3 ≈ 1, 9.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 3 / 10
Rovnováha splňuje 1 + αx − x3 = 0, mohou být tedy až tři. Limitní
bod větve rovnováh splňuje α − 3x2 = 0. Protože rovnováha nemůže
být nulová, je tato rovnice ekvivalentní rovnici αx − 3x3 = 0.
Odečtením
1 + αx − x3
= 0,
αx − 3x3
= 0
dostáváme 1 + 2x3 = 0, tedy x∗ = − 3 1
2 ≈ −0, 8 pro kritickou
hodnotu α∗ = 3(1
2 )2/3 ≈ 1, 9. Podmínka nedegenerovanosti je
fxx (x∗, α∗) = −6x∗ > 0 a podmínka transversality je
fα (x∗, α∗) = x∗ < 0.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 3 / 10
V okolí fold bifurkace bude tedy dynamika rovnice lokálně
topologicky ekvivalentní rovnici
˙y = −ε + y2
,
jejíž bifurkační diagram je
[0, 0]
y
ε
˙y
ε > 0
ε = 0
ε < 0
y
ε = y2
LP
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 4 / 10
Pokud zakreslíme větve rovnováh v závislosti na parametru α,
(můžeme udělat průběh funkce α = x3−1
x ), dostaneme
Vidíme limitní bod [1, 9 , −0, 8]. Spodní větev rovnováh je podle věty
o normální formě fold bifurkace stabilní, ohýbá se do nestabilní větve
uprostřed. Grobmanova–Hartmanova nebo Ljapunovova větaL. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 5 / 10
Příklad
Nalezněte limitní body (body fold bifurkace) parametrické rovnice
˙x = α + 3x − x3
, x ∈ R, α ∈ R.
Ověřte podmínky nedegenerovanosti a transverzality fold bifurkace. Podle
znaménka fα (x∗, α∗) a fxx (x∗, α∗) klasifikujte limitní bod. Nakreslete
bifurkační diagram.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 6 / 10
Příklad
Ukažte, že v parametrickém systému
˙x = x − y + 1
˙y = y2
− 2x − ε
dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru ε a
nakreslete bifurkační diagram.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 7 / 10
Příklad
Ukažte, že v parametrickém systému
˙x = x − y + 1
˙y = y2
− 2x − ε
dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru ε a
nakreslete bifurkační diagram.
Řešení:
Rovnováha splňuje y2 − 2(y − 1) − ε = 0, tj. y1,2 = 1 ±
√
ε − 1
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 7 / 10
Příklad
Ukažte, že v parametrickém systému
˙x = x − y + 1
˙y = y2
− 2x − ε
dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru ε a
nakreslete bifurkační diagram.
Řešení:
Rovnováha splňuje y2 − 2(y − 1) − ε = 0, tj. y1,2 = 1 ±
√
ε − 1
pro ε0 = 1 je rovnováha [0, 1] limitní,
pro ε < 1 rovnovážné body nejsou
pro ε > 1 jsou dvě rovnováhy [±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1].
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 7 / 10
Jacobiho matice má tvar Df (x, y) =
1 −1
−2 2y
,
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 8 / 10
Jacobiho matice má tvar Df (x, y) =
1 −1
−2 2y
,
v rovnováhách [±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1] tedy platí
J = Df (±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1) =
1 −1
−2 2(1 ±
√
ε − 1)
.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 8 / 10
Jacobiho matice má tvar Df (x, y) =
1 −1
−2 2y
,
v rovnováhách [±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1] tedy platí
J = Df (±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1) =
1 −1
−2 2(1 ±
√
ε − 1)
.
det J = ±2
√
ε − 1 = λ1λ2
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 8 / 10
Jacobiho matice má tvar Df (x, y) =
1 −1
−2 2y
,
v rovnováhách [±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1] tedy platí
J = Df (±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1) =
1 −1
−2 2(1 ±
√
ε − 1)
.
det J = ±2
√
ε − 1 = λ1λ2
tr J = 3 ± 2
√
ε − 1 = λ1 + λ2 > 0 pro ε > 1 v okolí 1.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 8 / 10
Jacobiho matice má tvar Df (x, y) =
1 −1
−2 2y
,
v rovnováhách [±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1] tedy platí
J = Df (±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1) =
1 −1
−2 2(1 ±
√
ε − 1)
.
det J = ±2
√
ε − 1 = λ1λ2
tr J = 3 ± 2
√
ε − 1 = λ1 + λ2 > 0 pro ε > 1 v okolí 1.
Bod [
√
ε − 1, 1 +
√
ε − 1] je tedy nestabilní uzel
a bod [−
√
ε − 1, 1 −
√
ε − 1] sedlo.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 8 / 10
Jacobiho matice má tvar Df (x, y) =
1 −1
−2 2y
,
v rovnováhách [±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1] tedy platí
J = Df (±
√
ε − 1, 1 ±
√
ε − 1) =
1 −1
−2 2(1 ±
√
ε − 1)
.
det J = ±2
√
ε − 1 = λ1λ2
tr J = 3 ± 2
√
ε − 1 = λ1 + λ2 > 0 pro ε > 1 v okolí 1.
Bod [
√
ε − 1, 1 +
√
ε − 1] je tedy nestabilní uzel
a bod [−
√
ε − 1, 1 −
√
ε − 1] sedlo.
V kritické hodnotě parametru ε0 = 1 dochází k bifurkaci typu
sedlo-uzel.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 8 / 10
Příklad
Výpočtem na papíře, analyticky v programu Maple a numericky v
MatContu nalezněte bod limitní bod systému
x = y
y = −a − x + x2
− xy.
Nalezněte vlastní čísla v limitním bodě (x∗, y∗, a∗) a ukažte, že
determinant Jacobiho matice zadaného systému je v limitním bodě
nulový. Zkoumejte fázové portréty v programu XPPAUT.
L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 9 / 10