M6201 Příklady - transkritická a vidličková bifurkace Lenka Přibylová pribylova@math.muni.cz Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity 7. března 2020 Příklad Nalezněte bifurkační body parametrické rovnice ˙x = −x4 + x3 − x2 + (a + 1)x − a, x ∈ R, a ∈ R. Ověřte podmínky nedegenerovanosti a transverzality a klasifikujte typ bifurkace. Nakreslete bifurkační diagram. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 2 / 11 Rovnováha splňuje −x4 + x3 − x2 + (a + 1)x − a = 0, mohou být tedy až čtyři. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 3 / 11 Rovnováha splňuje −x4 + x3 − x2 + (a + 1)x − a = 0, mohou být tedy až čtyři. Kritické body bifurkace větve rovnováh splňují −4x3 + 3x2 − 2x + a + 1 = 0, tedy a = 4x3 − 3x2 + 2x − 1. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 3 / 11 Rovnováha splňuje −x4 + x3 − x2 + (a + 1)x − a = 0, mohou být tedy až čtyři. Kritické body bifurkace větve rovnováh splňují −4x3 + 3x2 − 2x + a + 1 = 0, tedy a = 4x3 − 3x2 + 2x − 1. Dosazením dostaneme po úpravě 3x4 − 6x3 + 4x2 − 2x + 1 = 0. Hornerovým schématem nebo numericky dostáváme jediný dvojnásobný kořen x∗ = 1 pro kritickou hodnotu a∗ = 2. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 3 / 11 Podmínka nedegenerovanosti je fxx (x∗ , a∗ ) = −12 · 12 − 6 · 1 + 2 = −8 < 0. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 4 / 11 Podmínka nedegenerovanosti je fxx (x∗ , a∗ ) = −12 · 12 − 6 · 1 + 2 = −8 < 0. Nejde o fold bifurkaci, protože podmínka transversality není splněna: fa (x∗ , a∗ ) = x∗ − 1 = 0. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 4 / 11 Podmínka nedegenerovanosti je fxx (x∗ , a∗ ) = −12 · 12 − 6 · 1 + 2 = −8 < 0. Nejde o fold bifurkaci, protože podmínka transversality není splněna: fa (x∗ , a∗ ) = x∗ − 1 = 0. Je splněna podmínka transversality transkritické bifurkace, protože fxa (x∗ , a∗ ) = 1 > 0. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 4 / 11 V okolí transkritické bifurkace bude tedy dynamika rovnice lokálně topologicky ekvivalentní rovnici ˙y = εy − y2 , jejíž bifurkační diagram je [0, 0] y ε L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 5 / 11 Pokud si uvědomíme, že −x4 + x3 − x2 + (a + 1)x − a = (−x3 + a − x)(x − 1), je vidět, že větve rovnováh v závislosti na parametru a se opravdu protínají v bodě x∗ = 1 pro kritickou hodnotu a∗ = 2. Stabilita je určena typem transkritické bifurkace, tj. spodní větve jsou nestabilní a horní stabilní. Pro a∗ = 2 je rovnováha semistabilní. Řešení ˙x = (−x3 + 2 − x)(x − 1) kromě x(t) ≡ 1 vždy klesá. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 6 / 11 Příklad Nalezněte bifurkační body parametrické rovnice ˙x = a2 x + x3 − x, x ∈ R, a ∈ R. Ověřte podmínky nedegenerovanosti a transverzality a klasifikujte typ bifurkace. Nakreslete bifurkační diagram. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 7 / 11 Rovnováha splňuje a2 x + x3 − x = 0, mohou být tedy až tři. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 8 / 11 Rovnováha splňuje a2 x + x3 − x = 0, mohou být tedy až tři. Kritické body bifurkace větve rovnováh splňují a2 + 3x2 − 1 = 0, což implikuje x∗ = 0 a a∗ = ±1. Pravá strana a2x + x3 − x jako funkce x je lichá. Podmínka nedegenerovanosti platí fxxx (x∗, a∗) = 6 > 0 a fxa (x∗, a∗) = 2a∗ = ±2. Jde o dvě vidličkové bifurkace. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 8 / 11 V okolí vidličkové bifurkace v počátku pro a∗ = −1 bude dynamika rovnice lokálně topologicky ekvivalentní rovnici ˙y = −εy + y3 , jejíž bifurkační diagram je [0, 0] y ε L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 9 / 11 V okolí vidličkové bifurkace v počátku pro a∗ = 1 bude dynamika rovnice lokálně topologicky ekvivalentní rovnici ˙y = εy + y3 , jejíž bifurkační diagram je [0, 0] y ε L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 10 / 11 Pokud si uvědomíme, že a2x + x3 − x = x(a2 + x2 − 1), je vidět, že větve rovnováh v závislosti na parametru a se opravdu protínají v bodech x∗ = 0 pro kritické hodnoty a∗ = ±1. Stabilita je určena typem vidličkových bifurkací, tj. pouze vnitřní větev x = 0 uvnitř kruhu je stabilní. L. Přibylová ·Příklady ·7. března 2020 11 / 11