3.B Úpravy algebraických výrazů
Algebraický výraz: zápis skládající se z čísel a z písmen označujících
proměnné, jež jsou spojeny znaky operací, popř. obsahují
závorky
Definiční obor výrazu: množina hodnot proměnných, pro něž má algebraický
výraz smysl (neformálně „Podmínky“)
Úprava algebraického výrazu: spočívá v nahrazení daného algebraického výrazu
jednodušším algebraickým výrazem (ve tvaru např.
součinu, bez odmocnin ve jmenovateli, ...), který se
původnímu výrazu rovná na jejich společném definičním
oboru
Druhy algebraických výrazů:
1) iracionální (obsahují odmocniny, 1;1:. −++ baxnapř )
2) racionální (nevyskytují se v nich odmocniny)
o celistvé: mnohočleny ( 222
;4;53;12:. bayxxxnapř +−++ )
o lomené: podíly mnohočlenů (jmenovatel ≠ 0,
xx
xx
např
3
4
;
1
12
:.
2
−
−−
)
Vzorce:
( )( )122321
....... −−−−−
+−−+−+=+ nnnnnnn
bbababaababa pro n liché
( )( )122321
....... −−−−−
+++++−=− nnnnnnn
bbababaababa pro n liché i sudé
( ) ( )122321
....... −−−−−
−+−+−+=− nnnnnnn
bbababaababa pro n sudé
Pascalův trojúhelník:
- geometrické uspořádání binomických
koeficientů do tvaru trojúhelníku
lichéjenb
n
n
sudéjenb
n
n
ab
n
n
ba
n
ba
n
a
n
ba
babbababaaba
babbabaaba
babbaaba
bababa
n
n
nnnnn
L
L
K






−






+
〈





−
++





+





±





=±
±+±+±=±
+±+±=±
±+±=±
+±=±
−−− 1221
543223455
4322344
32233
222
1210
)(
510105)(
464)(
33)(
2)(
))((
))((
))((
2233
2233
22
babababa
babababa
bababa
++−=−
+−+=+
−+=−
Nejčastější úpravy algebraických výrazů:
1) rozklad mnohočlenu na součin
o vytýkání
• jednoduché, )2(2:. 223
+=+ aaaanapř
• vícenásobné,
( ) )1(.2)1(2)1(22:. 44445
++=+++=+++ aaaaaaaanapř
o rozklad kvadratického trojčlenu
o pomocí vzorců
2) úpravy zlomků
o rozšiřování
bc
ac
c
c
b
a
b
a
např =⋅=:. , kde b ≠ 0, c ≠ 0
o krácení
b
a
bc
ac
např =:. , kde b ≠ 0, c ≠ 0
o usměrňování
b
ba
b
b
b
a
b
a
b
a
např =⋅=⋅= 1:. b > 0
Podmínky: jmenovatel nesmí být roven 0, pod odmocninou nesmí být záporné číslo,….