S…střed
souměrnosti
X - vzor
X’- obraz
o…osa
souměrnosti
X’
X
12.B Shodná zobrazení
Shodné zobrazení – je zobrazení, které každým dvěma bodům X,Y (tzv. vzorům) přiřazuje
body X’,Y’ (tzv. obrazy) tak, že X’Y’ XY.
Shodnost rovinných útvarů: dva rovinné útvary jsou shodné, jestliže je můžeme přemístit tak, aby
se přesně kryly
přímá – útvary se dají v rovině přemístit tak, aby se překrývaly
Shodnost
nepřímá – aby se útvary po přemístění překrývaly, je nutno jeden z nich nejprve
„obrátit v prostoru“
Věty o shodnosti trojúhelníků:
sss… dva trojúhelníky jsou shodné, shodují – li se ve všech třech stranách
sus… dva trojúhelníky jsou shodné, shodují – li se ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném
usu… dva trojúhelníky jsou shodné, shodují – li se v jedné straně a v úhlech k ní přilehlých
Ssu… dva trojúhelníky jsou shodné, shodují – li se ve dvou stranách a úhlu naproti větší z nich
Druhy shodných zobrazení:
Středová souměrnost - : X → X’
− je to shodné zobrazení, které přiřazuje:
1)každému bodu X S bod X’ tak, že bod S je středem úsečky XX’,
2)bodu S bod S’ = S, bod S je tedy samodružný bod (tj. bod, pro nějž platí: X’ = X)
− jde o přímou shodnost
− je jednoznačně určená středem souměrnosti S nebo dvojicí vzoru a obrazu
− přímky procházející středem souměrnosti jsou samodružné přímky
Osová souměrnost - : X → X’
− je to shodné zobrazení, které přiřazuje
1)každému bodu X o bod X’ tak, že přímka XX’ je kolmá k ose souměrnosti o a střed úsečky XX’
leží na o,
2)každému bodu X o bod X’ = X, body ležící na ose souměrnosti o jsou tedy samodružné body
− jde o nepřímou shodnost
− je jednoznačně určena osou souměrnosti o nebo dvojicí
vzoru a obrazu
− samodružnými přímkami je osa o a všechny přímky na ni kolmé
B
A X
X’
X’
X
S
Posunutí (translace) - )(ABT : X → X’
− je to shodné zobrazení, které každému bodu X přiřazuje bod X’ tak, že orientované úsečky XX’ a
AB mají stejnou délku a směr
− jde o přímou shodnost
− je jednoznačně určeno velikostí a směrem posunutí nebo dvojicí vzoru a obrazu
− samodružnými přímkami jsou všechny přímky rovnoběžné se směrem posunutí
Otáčení (rotace) - ),( ϕSR : X → X’
− je to shodné zobrazení, které přiřazuje:
1)každému bodu X S bod X’ tak, že = a orientovaný úhel XSX’ má velikost ,
2)bodu S bod S’ = S, střed otáčení S je tedy samodružný bod
− je jednoznačně určeno středem S a úhlem otáčení
− jde o přímou shodnost
− otáčení nemá samodružné přímky
Pozn.: kladný smysl otáčení – proti směru pohybu hodinových ručiček
záporný smysl otáčení – po směru pohybu hodinových ručiček
Identita
− Je to shodné zobrazení, ve kterém se každý bod zobrazí sám na sebe