32.B Posloupnosti Posloupnost je funkce definovaná na množině přirozených čísel nebo její části. Posloupnost - nekonečná - má definiční obor celou množinu N a zapisujeme ji ( ) ( ),......,,,, 3211 nnn aaaaa = ∞ = - konečná - má definiční obor {1, 2, 3, …, k} a zapisujeme ji ( ) ( )k k nn aaaaa ...,,,, 3211 == Funkční hodnoty posloupnosti se nazývají členy posloupnosti; Funkční hodnota posloupnosti v bodě n∈N se nazývá n-tý člen posloupnosti a značí se an. Způsoby zadání posloupnosti: o výčtem prvků …. např. (2, 4, 6, 8, 10) o vzorcem pro n-tý člen …. např. an = 3n2 - 5, ( )∞ =− 1 2 53 nn o graficky … je zadán graf posloupnosti o rekurentně – je zadán první člen posloupnosti (případně několik prvních členů) a dále je zadán předpis (tzv. rekurentní vzorec) pro výpočet následujícího členu pomocí členu předcházejícího, případně členů předcházejících. Vlastnosti posloupnosti: Monotónnost: Posloupnost ( )∞ =1nna se nazývá • rostoucí 1: +∈∀⇔ naNn > na • klesající 1: +∈∀⇔ naNn < na • konstantní 1: +∈∀⇔ naNn = na • nerostoucí 1: +∈∀⇔ naNn ≤ na • neklesající 1: +∈∀⇔ naNn ≥ na Omezenost: Posloupnost ( )∞ =1nna se nazývá omezená zdola ):(: daNnRd n ≥∈∀∈∃⇔ omezená shora ):(: haNnRh n ≤∈∀∈∃⇔ omezená právě tehdy, je-li omezená zdola i shora ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Posloupnost ( )∞ =1nna se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje reálné číslo d∈R, (tzv. diference) tak, že pro každé n∈N platí: an+1 = an + d. Pozn.: 1) Z rekurentního vzorce plyne, že rozdíl každých dvou po sobě následujících členů je konstantní a rovná se diferenci d. 2) Pro každou trojici an-1, an, an+1 (n ≥ 2) po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti platí 2 11 +− + = nn n aa a , tj. prostřední člen uvedené trojice je aritmetickým průměrem svých sousedních členů. Pro každou aritmetickou posloupnost ( )∞ =1nna s diferencí d∈ R platí: 1) an = a1 + (n – 1)d … vzorec pro výpočet libovolného členu aritmetické posloupnosti pomocí členu prvního 2) ar = as + (r – s)d … vzorec pro výpočet libovolného členu aritmetické posloupnosti pomocí libovolného jiného jejího členu 3) ( )nn aa n s += 1 2 … vzorec pro výpočet součtu prvních n členů aritmetické posloupnosti GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Posloupnost ( )∞ =1nna se nazývá geometrická právě tehdy, když existuje reálné číslo q∈R, (tzv. kvocient) tak, že pro každé n∈N platí: an+1 = an . q. Pozn.: 1) Z rekurentního vzorce plyne, že podíl každých dvou po sobě následujících členů je konstantní a rovná se kvocientu q. 2) V geometrické posloupnosti jsou libovolné trojice po sobě jdoucích členů svázány s geometrickým průměrem. Pro každou geometrickou posloupnost ( )∞ =1nna s kvocientem q∈ R platí: 1) an = a1 . q n – 1 … vzorec pro výpočet libovolného členu geometrické posloupnosti pomocí členu prvního 2) ar = as . qr – s … vzorec pro výpočet libovolného členu geometrické posloupnosti pomocí libovolného jiného členu 3) 1 1 1 − − = q q as n n … vzorec pro výpočet součtu prvních n členů geometrické posloupnosti, jejíž kvocient q ≠ 1. Pokud má geometrická posloupnost kvocient q = 1, pak je konstantní a součet jejích prvních n členů se určí jednoduše sn = n . a1. Užití geometrických posloupností:  finanční matematika, např. úročení vkladů, splácení dluhů, …  demografické údaje, např. vývoj počtu obyvatel v čase, …  fyzikální úlohy, např. pohlcování elektromagnetického záření překážkami, …  chemické úlohy, např. poločasy přeměny … Př. 1 Nechť je N0 počáteční vklad do banky (počáteční počet lidí v daném městě). Nechť je p počet procent ročního úroku (počet procent ročního přírůstku obyvatel). Kolik peněz bude v bance po n letech (Kolik obyvatel bude ve městě po n letech )? Řeš.: počáteční stav …. N0 stav po 1 roce ….. N1 = N0 +       += 100 1 100 00 p NN p stav po 2 letech … 2 01112 100 1 100 1 100       +=      +=+= p N p NN p NN …… stav po n letech … n n p NN       += 100 10 Pozn.: Je-li úrok zdaněn x procenty, je třeba výpočet upravit: počáteční stav …. N0 stav po 1 roce ….. N1 = N0 +       −+=− 10000100 1. 100 . 100100 000 xpp NN px N p … stav po n letech … n n xpp NN       −+= 10000100 10 Př. 2 Nechť skleněná deska pohltí p % světla. Kolik desek je třeba na sebe naskládat, aby pohltily 80 % světla? Řeš.: intenzita světla …..I0 přes jednu desku projde … I1 = I0       −=− 100 1 100 00 p II p přes dvě desky projde … I2 = I1 2 011 100 1 100 1 100       −=      −=− p I p II p … přes n desek projde … In = n p I       − 100 10 Má-li být pohlceno 80 % světla, musí být intenzita In nejvýš 20 % I0. Tedy In ≤ 0,2 . I0 00 .2,0 100 1 I p I n ≤      − 2,0 100 1 ≤      − n p 2,0log 100 1log. ≤      − p n       − ≥ 100 1log 2,0log p n