43.B Parabola
PARABOLA P(F, d) je množina všech bodů X roviny ρ, které jsou stejně vzdáleny od daného
bodu F, tzv. ohniska, a od dané přímky d, tzv. řídicí přímky.
Tedy    XdXFXdFP  ;,  }
F … ohnisko paraboly
d … řídicí přímka
V … vrchol paraboly
v … vrcholová tečna
o … osa paraboly
p = DF … parametr paraboly
Rovnice paraboly P(F, d) s vrcholem V[m, n]:
1) osa paraboly rovnoběžná s osou x:
vrcholová rovnice: (y – n)2
= ± 2p.(x – m)
obecná rovnice: y2
+ Ax + By + C = 0
2) osa paraboly rovnoběžná s osou y:
vrcholová rovnice: (x – m)2
= ± 2p.(y – n)
obecná rovnice: x2
+ Ay + Bx + C = 0
Parabola P(F, d) s vrcholem V[0, 0] Parabola P(F, d) s vrcholem V[m, n]
F
o
Pvd
VD
2
p
2
p
x
y
y
x
x2
= 2py
x2
= -2py
y2
= 2pxy2
= -2px
(x-m)2
= 2p(y-n)
(x-m)2
= -2p(y-n)
(y-n)2
= 2p(x-m)
(y-n)2
= -2p(x-m)
m
n VV
X
Vzájemná poloha bodu a paraboly:
Nechť je dána parabola P: y2
+ Ax + By + C = 0 nebo P: x2
+ Ay + Bx + C = 0 a dále bod
M[xM, yM]. Levou stranu rovnice paraboly označíme L(x, y). Pak platí:
1) Je-li L(xM, yM) = 0, pak M P.
2) Je-li L(xM, yM) > 0, pak M leží vně P.
3) Je-li L(xM, yM) < 0, pak M leží uvnitř útvaru ohraničeného parabolou P.
Vzájemná poloha přímky (lineárního útvaru) a paraboly – je dána počtem
společných bodů. Řeší se tedy soustava kvadratické rovnice (paraboly) a lineární rovnice
(přímky)
P: y2
+ Ax + By + C = 0 nebo x2
+ Ay + Bx + C = 0
p: ax + by + c = 0
- soustava dvou rovnic o dvou neznámých
Může nastat, že soustava má:
1) 2 řešení:  21;PPpP  … p = s …sečna
2) 1 řešení: TpP  … p = t …tečna nebo
p = r … rovnoběžka s osou paraboly
3) 0 řešení:  pP … p … vnější přímka
Pozn.: Určujeme-li vzájemnou polohu paraboly a některé podmnožiny přímky (úsečka,
polopřímka), pak při řešení pracujeme raději s parametrickou rovnicí dané podmnožiny.
Rovnice tečny vedené k parabole P(F, d) v jejím bodě T[xo,yo]:
1) Parabola: (y – n)2
= ± 2p.(x – m)
tečna: (y0 – n).(y – n) = ± p.(x + x0 – 2m)
2) Parabola: (x – m)2
= ± 2p.(y – n)
tečna: (x0 – m).(x – m) = ± p.(y + y0 – 2n)
s
t
r
p
o
P1
P2
T2
T1