46.B Komplexní čísla
Důvody rozšíření množiny R reálných čísel do množiny C komplexních čísel:
1) úvaha o možné „rovinové“ analogii vzájemně jednoznačného zobrazení mezi všemi body
na přímce a množinou reálných čísel;
2) snaha o řešení rovnic typu x2
= -1, x2
= -16, x2
= -5, …
Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [a, b] reálných čísel. Zobrazí se jako bod v rovině: z = [a, b]
Číslo a se nazývá reálná část komplexního čísla z.
Číslo b se nazývá imaginární část komplexního čísla z.
Množina komplexních čísel je množina C = R x R = R2
.
Tvary komplexních čísel:
1) definiční tvar … z = [a, b]
3) algebraický tvar … z = a + bi,
kde konstanta i se nazývá imaginární jednotka a je definovaná tak, aby i2
= −1.
4) goniometrický tvar … ( )ϕϕ sincos. izz += ,
kde 22
baz += je absolutní hodnota z (neboli modul z)
a pro argument φ komplexního čísla z platí: .sin,cos
z
b
z
a
== ϕϕ
Číslo komplexně sdružené k číslu z = a + bi je číslo z = a – bi .
Komplexní jednotka je takové komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je 1.
Geometrický model množiny C komplexních čísel je Gaussova rovina.
Operace s komplexními čísly:
sčítání, odčítání a násobení … nejvýhodnější v algebraickém tvaru, kdy se s komplexními
čísly pracuje stejně jako s polynomy (s využitím i2
= −1)
Př.: z1 = 7 + 2i, z2 = 4 + 3i ; z1 + z2 = 11 + 5i,
z1 – z2 = 3 – i ,
z1 . z2 = (7 + 2i) . (4 + 3i) = 28 + 29i + 6i2
= 22 + 29i
dělení … výhodné v algebraickém tvaru (s užitím rozšíření zlomku číslem z )
Př.: i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
z
z
25
13
25
34
25
1334
916
61328
34
34
.
34
27
34
27
2
2
2
1
−=
−
=
−
−−
=
−
−
+
+
=
+
+
=
násobení a dělení …. v goniometrickém tvaru
Je-li ( )1111 sincos. ϕϕ += zz , ( )2222 sincos. ϕϕ += zz , pak
( ) ( )( )21212121 sin.cos... ϕϕϕϕ +++= izzzz
( ) ( )( )2121
2
1
2
1
sin.cos. ϕϕϕϕ −+−= i
z
z
z
z
umocňování a odmocňování … v goniometrickém tvaru
Při výpočtu mocniny komplexního čísla s přirozeným mocnitelem se používá
Moivreova věta: ( ) ϕϕϕϕ nini
n
sin.cossin.cos +=+
umocňování: Je-li ( )ϕϕ sincos. += zz , pak ( )ϕϕ nnzz nn
sincos. +=
odmocňování: Nechť je dané komplexní číslo ( )αα sin.cos. iaa += a n∈N.
Pak azza nn
=⇔= ( ( )xxzz sincos. += je hledaná n-tá odmocnina)
( ) ( )αα sin.cos.sin.cos. ianxinxz
n
+=+
Zkknxaz
n
∈+=∧= ,2 πα
n
k
n
xaz n
πα 2
+=∧=
V množině C komplexních čísel představuje n-tou odmocninu z daného komplexního
čísla a množina n komplexních čísel zk = 











++





+
n
k
n
i
n
k
n
an
παπα 2
sin.
2
cos. ,
kde k∈{ }1,...,2,1,0 −n .
Obrazy všech těchto čísel zk leží ve vrcholech pravidelného n-úhelníku vepsaného do
kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a s poloměrem n ar = .
Binomická rovnice je rovnice typu p.zn
+ q = 0, kde p ≠ 0, p, q ∈ C, n ∈N.
Řešení binomické rovnice: n
n
q
p
z
q
p
z −=⇒−=
.
Kvadratická rovnice v množině C je rovnice typu a.z2
+ b.z + c = 0, kde a, b, c∈ C, a ≠ 0.
Způsoby řešení:
• pomocí diskriminantu
• převedením na binomickou rovnici
• zápisem neznámé v algebraickém tvaru z = x + yi … porovnáním reálné a imaginární
části rovnice převedeme kvadratickou rovnici v C na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých v R2
.
Pozn.: 1) V množině C nelze uspořádat čísla podle velikosti, neplatí tam pojmy „větší“, „menší“.
2) V množině C neexistuje pojem kladného či záporného čísla.
3) V množině C platí zzz .
2
= . (
22
aa = platí pouze v R, nikoliv však v C)
4) V množině C lze rozložit x2
+ y2
= (x + yi).(x – yi)
………..