Lineární algebra
Řešení cvičení
Petr Liška
Masarykova univerzita
1.4.–2.4.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 1 / 21
4.3.B1a)
Pro dané matice spočtěte A·B
A =
2 5 7
−1 0 4
B =


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 2 / 21
4.3.B1a)
Pro dané matice spočtěte A·B
A =
2 5 7
−1 0 4
B =


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2


Řešení:
A·B =
2 5 7
−1 0 4
·


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2

 =
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 2 / 21
4.3.B1a)
Pro dané matice spočtěte A·B
A =
2 5 7
−1 0 4
B =


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2


Řešení:
A·B =
2 5 7
−1 0 4
·


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2

 =
=
2·3 + 5·(−4) + 7·2 2·2 + 5·0 + 7·11 2·1 + 5·6 + 7·1 2·7 + 5·1 + 7·(−2)
−1·3 + 0·(−4) + 4·2 −1·2 + 0·0 + 4·11 −1·1 + 0·6 + 4·1 −1·7 + 0·1 + 4·(−2)
=
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 2 / 21
4.3.B1a)
Pro dané matice spočtěte A·B
A =
2 5 7
−1 0 4
B =


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2


Řešení:
A·B =
2 5 7
−1 0 4
·


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2

 =
=
2·3 + 5·(−4) + 7·2 2·2 + 5·0 + 7·11 2·1 + 5·6 + 7·1 2·7 + 5·1 + 7·(−2)
−1·3 + 0·(−4) + 4·2 −1·2 + 0·0 + 4·11 −1·1 + 0·6 + 4·1 −1·7 + 0·1 + 4·(−2)
=
=
0 81 39 5
5 42 3 −15
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 2 / 21
Proč se to dělá zrovna takto?
Lineární zobrazení
Zobrazení T z Rn do Rm je pravidlo, které každému vektoru z Rn přiřadí
právě jeden vektor z Rm. Zobrazení T navíc nazveme lineární,
jestliže
T(u + v) = T(u) + T(v) a T(cu) = cT(u)
pro každé u, v ∈ Rn a c ∈ R.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 3 / 21
Proč se to dělá zrovna takto?
Lineární zobrazení
Zobrazení T z Rn do Rm je pravidlo, které každému vektoru z Rn přiřadí
právě jeden vektor z Rm. Zobrazení T navíc nazveme lineární,
jestliže
T(u + v) = T(u) + T(v) a T(cu) = cT(u)
pro každé u, v ∈ Rn a c ∈ R.
Příklady
Zobrazení z R2 do R2, které
- zobrazí každý bod v osové souměrnosti s osou x
- každý bod kolmo promítne na osu x
- každý bod otočí kolem počátku protisměru hodinových ručiček o
úhel ϕ
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 3 / 21
f
x1
x2
=
ax1 + bx2
cx1 + dx2
g
x1
x2
=
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 4 / 21
f
x1
x2
=
ax1 + bx2
cx1 + dx2
g
x1
x2
=
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
f g
x1
x2
= f
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
=
(aA + bC)x1 + (aB + bD)x2
(cA + dC)x1 + (cB + dD)x2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 4 / 21
f
x1
x2
=
ax1 + bx2
cx1 + dx2
g
x1
x2
=
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
f g
x1
x2
= f
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
=
(aA + bC)x1 + (aB + bD)x2
(cA + dC)x1 + (cB + dD)x2
F =
a b
c d
G =
A B
C D
H =
aA + bC aB + bD
cA + dC cB + dD
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 4 / 21
f
x1
x2
=
ax1 + bx2
cx1 + dx2
g
x1
x2
=
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
f g
x1
x2
= f
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
=
(aA + bC)x1 + (aB + bD)x2
(cA + dC)x1 + (cB + dD)x2
F =
a b
c d
G =
A B
C D
H =
aA + bC aB + bD
cA + dC cB + dD
a b
c d
·
A B
C D
=
aA + bC aB + bD
cA + dC cB + dD
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 4 / 21
4.3.B4a)
Dokažte, že pro každé přirozené n platí:
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos nx − sin nx
sin nx cos nx
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 5 / 21
4.3.B4a)
Dokažte, že pro každé přirozené n platí:
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos nx − sin nx
sin nx cos nx
Řešení: 1. Pro n = 1 zřejmě platí.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 5 / 21
4.3.B4a)
Dokažte, že pro každé přirozené n platí:
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos nx − sin nx
sin nx cos nx
Řešení: 1. Pro n = 1 zřejmě platí.
2. Předpokládáme, že vztah platí pro 1, 2, . . . n − 1 a dokážeme, že platí
pro n.
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 5 / 21
4.3.B4a)
Dokažte, že pro každé přirozené n platí:
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos nx − sin nx
sin nx cos nx
Řešení: 1. Pro n = 1 zřejmě platí.
2. Předpokládáme, že vztah platí pro 1, 2, . . . n − 1 a dokážeme, že platí
pro n.
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos x − sin x
sin x cos x
·
cos x − sin x
sin x cos x
n−1
=
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 5 / 21
4.3.B4a)
Dokažte, že pro každé přirozené n platí:
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos nx − sin nx
sin nx cos nx
Řešení: 1. Pro n = 1 zřejmě platí.
2. Předpokládáme, že vztah platí pro 1, 2, . . . n − 1 a dokážeme, že platí
pro n.
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos x − sin x
sin x cos x
·
cos x − sin x
sin x cos x
n−1
=
=
cos x − sin x
sin x cos x
·
cos(n − 1)x − sin(n − 1)x
sin(n − 1)x cos(n − 1)x
=
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 5 / 21
4.3.B4a)
Dokažte, že pro každé přirozené n platí:
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos nx − sin nx
sin nx cos nx
Řešení: 1. Pro n = 1 zřejmě platí.
2. Předpokládáme, že vztah platí pro 1, 2, . . . n − 1 a dokážeme, že platí
pro n.
cos x − sin x
sin x cos x
n
=
cos x − sin x
sin x cos x
·
cos x − sin x
sin x cos x
n−1
=
=
cos x − sin x
sin x cos x
·
cos(n − 1)x − sin(n − 1)x
sin(n − 1)x cos(n − 1)x
=
cos nx − sin nx
sin nx cos nx
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 5 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Řešení: 1. Je (M, +) komutativní grupa?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Řešení: 1. Je (M, +) komutativní grupa?
Matice se sčítáním tvoří komutativní grupu (V 3.1.)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Řešení: 1. Je (M, +) komutativní grupa?
Matice se sčítáním tvoří komutativní grupu (V 3.1.)
a1 b1
2b1 a1
+
a2 b2
2b2 a2
=
a1 + a2 b1 + b2
2(b1 + b2) a1 + a2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Řešení: 1. Je (M, +) komutativní grupa?
Matice se sčítáním tvoří komutativní grupu (V 3.1.)
a1 b1
2b1 a1
+
a2 b2
2b2 a2
=
a1 + a2 b1 + b2
2(b1 + b2) a1 + a2
∈ M
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Řešení: 1. Je (M, +) komutativní grupa?
Matice se sčítáním tvoří komutativní grupu (V 3.1.)
a1 b1
2b1 a1
+
a2 b2
2b2 a2
=
a1 + a2 b1 + b2
2(b1 + b2) a1 + a2
∈ M
2. Je (M, ·) pologrupa s jedničkou?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Řešení: 1. Je (M, +) komutativní grupa?
Matice se sčítáním tvoří komutativní grupu (V 3.1.)
a1 b1
2b1 a1
+
a2 b2
2b2 a2
=
a1 + a2 b1 + b2
2(b1 + b2) a1 + a2
∈ M
2. Je (M, ·) pologrupa s jedničkou?
Jednička je
1 0
0 1
∈ M. Násobení matic je asociativní (V 3.3.)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Řešení: 1. Je (M, +) komutativní grupa?
Matice se sčítáním tvoří komutativní grupu (V 3.1.)
a1 b1
2b1 a1
+
a2 b2
2b2 a2
=
a1 + a2 b1 + b2
2(b1 + b2) a1 + a2
∈ M
2. Je (M, ·) pologrupa s jedničkou?
Jednička je
1 0
0 1
∈ M. Násobení matic je asociativní (V 3.3.)
a1 b1
2b1 a1
·
a2 b2
2b2 a2
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
4.3.B20b)
Dokažte, že množina matic
M =
a b
2b a
| a, b ∈ Q
společně s operacemi sčítání a násobené matic je tělesem.
Řešení: 1. Je (M, +) komutativní grupa?
Matice se sčítáním tvoří komutativní grupu (V 3.1.)
a1 b1
2b1 a1
+
a2 b2
2b2 a2
=
a1 + a2 b1 + b2
2(b1 + b2) a1 + a2
∈ M
2. Je (M, ·) pologrupa s jedničkou?
Jednička je
1 0
0 1
∈ M. Násobení matic je asociativní (V 3.3.)
a1 b1
2b1 a1
·
a2 b2
2b2 a2
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
∈ M
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 6 / 21
3. Platí distributivní zákony?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 7 / 21
3. Platí distributivní zákony?
Ano (V 3.4.)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 7 / 21
3. Platí distributivní zákony?
Ano (V 3.4.)
4. Jedná se o netriviální komutativní okruh?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 7 / 21
3. Platí distributivní zákony?
Ano (V 3.4.)
4. Jedná se o netriviální komutativní okruh?
a1 b1
2b1 a1
·
a2 b2
2b2 a2
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
a2 b2
2b2 a2
·
a1 b1
2b1 a1
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 7 / 21
3. Platí distributivní zákony?
Ano (V 3.4.)
4. Jedná se o netriviální komutativní okruh?
a1 b1
2b1 a1
·
a2 b2
2b2 a2
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
a2 b2
2b2 a2
·
a1 b1
2b1 a1
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
5. Existuje ke každému nenulovému prvku prvek inverzní?
a b
2b a
·
x1 x2
x3 x4
=
1 0
0 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 7 / 21
3. Platí distributivní zákony?
Ano (V 3.4.)
4. Jedná se o netriviální komutativní okruh?
a1 b1
2b1 a1
·
a2 b2
2b2 a2
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
a2 b2
2b2 a2
·
a1 b1
2b1 a1
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
5. Existuje ke každému nenulovému prvku prvek inverzní?
a b
2b a
·
x1 x2
x3 x4
=
1 0
0 1
=⇒
a
a2−2b2
−b
a2−2b2
−2b
a2−2b2
a
a2−2b2
∈ M
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 7 / 21
3. Platí distributivní zákony?
Ano (V 3.4.)
4. Jedná se o netriviální komutativní okruh?
a1 b1
2b1 a1
·
a2 b2
2b2 a2
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
a2 b2
2b2 a2
·
a1 b1
2b1 a1
=
a1a2 + 2b1b2 a1b2 + a2b1
2a1b2 + 2a2b1 a1a2 + 2b1b2
5. Existuje ke každému nenulovému prvku prvek inverzní?
a b
2b a
·
x1 x2
x3 x4
=
1 0
0 1
=⇒
a
a2−2b2
−b
a2−2b2
−2b
a2−2b2
a
a2−2b2
∈ M
a b
2b a
= a2
− 2b2
= 0 =⇒ existuje prvek inverzní
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 7 / 21
4.3.B24a)
Rozhodněte, zda dané matice tvoří bázi vektorového prostoru
Matnn(R):
1 0
1 1
0 1
2 3
1 2
3 0
1 1
0 2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 8 / 21
4.3.B24a)
Rozhodněte, zda dané matice tvoří bázi vektorového prostoru
Matnn(R):
1 0
1 1
0 1
2 3
1 2
3 0
1 1
0 2
Řešení:
t1
1 0
1 1
+ t2
0 1
2 3
+ t3
1 2
3 0
+ t4
1 1
0 2
=
0 0
0 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 8 / 21
4.3.B24a)
Rozhodněte, zda dané matice tvoří bázi vektorového prostoru
Matnn(R):
1 0
1 1
0 1
2 3
1 2
3 0
1 1
0 2
Řešení:
t1
1 0
1 1
+ t2
0 1
2 3
+ t3
1 2
3 0
+ t4
1 1
0 2
=
0 0
0 0
t1 + t3 + t4 = 0
t2 + 2t3 + t4 = 0
t1 + 2t2 + 3t3 = 0
t1 + 3t2 + 2t4 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 8 / 21




1 0 1 1 0
0 1 2 1 0
1 2 3 0 0
1 3 0 2 0



 ∼ · · · ∼




1 0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 0 −2 −3 0
0 0 0 15 0




Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 9 / 21




1 0 1 1 0
0 1 2 1 0
1 2 3 0 0
1 3 0 2 0



 ∼ · · · ∼




1 0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 0 −2 −3 0
0 0 0 15 0




Existuje jedno řešení =⇒ LN =⇒ Báze
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 9 / 21
4.3.B25a)
Rozhodněte, zda
W = {A = (aij) ∈ Matnn(R) | aij = 0 pro i = j}
je podprostorem vektorového prostoru Matnn(R), případně určete jeho
dimenzi.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 10 / 21
4.3.B25a)
Rozhodněte, zda
W = {A = (aij) ∈ Matnn(R) | aij = 0 pro i = j}
je podprostorem vektorového prostoru Matnn(R), případně určete jeho
dimenzi.
Řešení:
A =







a11 0 · · · 0 0
0 a22 · · · 0 0
...
...
0 0 · · · an−1,n−1 0
0 0 · · · 0 ann







Zřejmě ∀ A, B ∈ W máme A + B ∈ W a ∀c ∈ R máme (c · A) ∈ W =⇒
W je podprostor
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 10 / 21
4.3.B25a)
Rozhodněte, zda
W = {A = (aij) ∈ Matnn(R) | aij = 0 pro i = j}
je podprostorem vektorového prostoru Matnn(R), případně určete jeho
dimenzi.
Řešení:
A =







a11 0 · · · 0 0
0 a22 · · · 0 0
...
...
0 0 · · · an−1,n−1 0
0 0 · · · 0 ann







Zřejmě ∀ A, B ∈ W máme A + B ∈ W a ∀c ∈ R máme (c · A) ∈ W =⇒
W je podprostor
dim W = n
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 10 / 21
4.3.B25d)
Rozhodněte, zda
W = {A = (aij) ∈ Matnn(R) | a11 + a22 + · · · + ann = 0}
je podprostorem vektorového prostoru Matnn(R), případně určete jeho
dimenzi.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 11 / 21
4.3.B25d)
Rozhodněte, zda
W = {A = (aij) ∈ Matnn(R) | a11 + a22 + · · · + ann = 0}
je podprostorem vektorového prostoru Matnn(R), případně určete jeho
dimenzi.
Řešení:
A =







a11 a12 · · · a1,n−1 a1n
a21 a22 · · · a2,n−1 a2n
...
...
an−1,1 an−1,2 · · · an−1,n−1 an−1,n
an1 an2 · · · an,n−1 −a11 − a22 − · · · − an−1,n−1







Zřejmě ∀ A, B ∈ W máme A + B ∈ W a ∀c ∈ R máme (c · A) ∈ W =⇒
W je podprostor
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 11 / 21
4.3.B25d)
Rozhodněte, zda
W = {A = (aij) ∈ Matnn(R) | a11 + a22 + · · · + ann = 0}
je podprostorem vektorového prostoru Matnn(R), případně určete jeho
dimenzi.
Řešení:
A =







a11 a12 · · · a1,n−1 a1n
a21 a22 · · · a2,n−1 a2n
...
...
an−1,1 an−1,2 · · · an−1,n−1 an−1,n
an1 an2 · · · an,n−1 −a11 − a22 − · · · − an−1,n−1







Zřejmě ∀ A, B ∈ W máme A + B ∈ W a ∀c ∈ R máme (c · A) ∈ W =⇒
W je podprostor
dim W = n2
− 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 11 / 21
4.3.A5
U.p. dvou regulárních matic A, B, které jsou děliteli nuly v okruhu
Mat33(R), +, ·)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 12 / 21
4.3.A5
U.p. dvou regulárních matic A, B, které jsou děliteli nuly v okruhu
Mat33(R), +, ·)
Řešení: Pokud by matice nemuseli být regulární, tak pak by správná
odpoveď byla například


1 0 0
0 0 0
0 0 0

 ·


0 0 0
1 0 0
0 0 0

 =


0 0 0
0 0 0
0 0 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 12 / 21
4.3.A5
U.p. dvou regulárních matic A, B, které jsou děliteli nuly v okruhu
Mat33(R), +, ·)
Řešení: Pokud by matice nemuseli být regulární, tak pak by správná
odpoveď byla například


1 0 0
0 0 0
0 0 0

 ·


0 0 0
1 0 0
0 0 0

 =


0 0 0
0 0 0
0 0 0


V našem případě, ale žádný takový příklad neexistuje, jelikož
Cauchyova věta říka, že
|A| · |B| = |A · B|.
A matice A a B mají být regulární, tj. |A| = 0 a |B| = 0, ale A · B má
být nulová matice, pro kterou platí |A · B| = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 12 / 21
4.3.A4
U.p. generátorů vektorového prostoru Mat22(R), které nejsou bází tohoto
prostoru.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 13 / 21
4.3.A4
U.p. generátorů vektorového prostoru Mat22(R), které nejsou bází tohoto
prostoru.
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 13 / 21
Některé aplikace matic
Grafem rozumíme konečnou množinu bodů (těm říkáme vrcholy) a konečnou množinu hran,
kdy každá z nich spojuje dva vrcholy (ne nutně různé).
A B C D E
A
B D
E
C
Stejný graf můžeme ale také popsat pomocí tzv. matice sousednosti. Pro graf o n vrcholech
se jedná o čtvercovou matici n × n definovanou takto
aij =
1 je-li hrana mezi vrcholy i a j,
0 jinak.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 14 / 21
A B C D E
A
B D
E
C
Pro náš graf dostaneme matici
A =





0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0





Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 15 / 21
Cestou v grafu rozumíme posloupnost hran, která nám umožní cestovat z jednoho vrcholu
do jiného. Její délka je pak číslo určující počet hran, které obsahuje.
Uvažme matici
A2
= A · A =





3 0 2 2 1
0 2 1 0 2
2 1 3 1 2
2 0 1 2 0
1 2 2 0 3





Co reprezentují čísla v této matici? Z definice násobení matic víme, že
A2
13
= a11a13 + a12a23 + a13a33 + a14a43 + a15a53 .
Tento výraz bude nenulový, když alespoň jeden ze součinů a1kak3 bude nenulový, což ale
nastane jen tehdy, když oba členy a1k i ak3 budou nenulové. To ale znamená, že existuje
hrana mezi prvním a k-tým vrcholem a taky hrana mezi k-tým a třetím vrcholem, tedy
existuje cesta délky 2, která spojuje první a třetí vrchol.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 16 / 21
Tyto myšlenky můžeme ilustrovat na celé řadě příkladů. Uvažme například následující graf
a příslušnou matici sousednosti, které zobrazují přímé letecké spoje mezi Brnem,
Edinburghem, Lisabonem, Mnichovem a Paříží.
B
M
P
L
E
A =





B E L M P
B 0 0 0 1 1
E 0 0 0 1 1
L 0 0 0 1 1
M 1 1 1 0 1
P 1 1 1 1 0





Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 17 / 21
Nyní můžeme například snadno odpovědět na otázku, kolik existuje různých letů z Brna do
libovolného města s dvěma přestupy:
A + A2
+ A3
=





4 4 4 9 9
4 4 4 9 9
4 4 4 9 9
9 9 9 10 11
9 9 9 11 10





Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 18 / 21
Nyní můžeme například snadno odpovědět na otázku, kolik existuje různých letů z Brna do
libovolného města s dvěma přestupy:
A + A2
+ A3
=





4 4 4 9 9
4 4 4 9 9
4 4 4 9 9
9 9 9 10 11
9 9 9 11 10





Odpověď dává první řádek naší matice. Vidíme, že například z Brna do Edinburghu existují
čtyři různé cesty s dvěma přestupy a do Paříže je jich už devět. Která z těchto cest by byla
nejkratší nebo nejrychlejší je již ale jiný příběh (i když stále z teorie grafů).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 18 / 21
V mnoha aplikacích není vztah mezi dvěma objekty obousměrný. Například hrany
reprezentující jednosměrnou cestu v grafu popisujícím dopravní síť, nebo vztahy mezi
jednotlivými druhy v rámci ekosystému. Snaha o zachycení těchto vztahů nás vede k tzv.
orientovanému grafu, kde máme orientované hrany (tj. šipky). Pro něj můžeme samozřejmě
opět zavést matici sousednosti:
aij =
1 vede-li hrana z i do j,
0 jinak.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 19 / 21
Představme si například pětici hráčů, kteří hrají turnaj ve stylu každý s každým. Výsledky
můžeme snadno zachytit pomocí grafu, kdy hranu od prvního hráče k druhému vedeme
tehdy, když první druhého porazí. Dostaneme tak například následující graf a příslušnou
matici sousednosti
A
B
C D
E
A =





0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
1 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0





Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 20 / 21
Dejme tomu, že chceme seřadit hráče podle počtu jejich vítězství. Pro tento účel nám stačí
samozřejmě jen sečíst, kolik jedniček je v každém řádku. Tento výpočet můžeme také
nahradit následujícím násobením:
A · J =





0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
1 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0





·





1
1
1
1
1





=





3
3
2
1
1





Vidíme, že někteří hráči (A a B, C a D) mají stejný počet výher. Pokud bychom chtěli
rozhodnout, který z nich je lepší, můžeme například použít kritérium nepřímých vítězství,
tj. kolik hráčů porazili hráči, které daný hráč porazil. Ve slovech matic (po předchozím
příkladu je snad jasné proč) dostaneme
(A + A2
) · J =





8
7
6
2
3





Hráč A je tedy lepší než B a E je lepší než D. Poznamenejme, že naneštěstí tento přístup
neumí rozhodnout všechny „remízy“.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 21 / 21
Domácí úkol – termín odevzdání 10.4.2020
První příklad
U. p. matic A, B, které nejsou čtvercové a přitom existují oba součiny
A · B i B · A.
Druhý příklad
Spočtěte A · B · C.
A =


1 −1 0
2 1 −3
0 2 1

 B =


2 1 1
3 2 0
1 −1 0

 C =


0 3 1
1 0 −2
2 1 0


Třetí příklad
Rozhodněte, zda dané matice tvoří bázi prostoru Matnn(R):
1 8
7 −7
1 −1
1 2
1 5
5 −4
1 2
3 −1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 1.4.–2.4.2020 22 / 21