Lineární algebra
Řešení cvičení
Petr Liška
Masarykova univerzita
29.4.–30.4.2020
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 1 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Řešení: Zvolíme
e1 = u1 = (1, 2, 2, −1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Řešení: Zvolíme
e1 = u1 = (1, 2, 2, −1)
Položíme e2 = p · e1 + u2,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Řešení: Zvolíme
e1 = u1 = (1, 2, 2, −1)
Položíme e2 = p · e1 + u2, pak
e1 · e2 = 0 = p · e1 · e1 + e1 · u2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Řešení: Zvolíme
e1 = u1 = (1, 2, 2, −1)
Položíme e2 = p · e1 + u2, pak
e1 · e2 = 0 = p · e1 · e1 + e1 · u2 =⇒ 0 = 10p − 10 =⇒ p = 1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Řešení: Zvolíme
e1 = u1 = (1, 2, 2, −1)
Položíme e2 = p · e1 + u2, pak
e1 · e2 = 0 = p · e1 · e1 + e1 · u2 =⇒ 0 = 10p − 10 =⇒ p = 1.
Máme tedy e2 = (1, 2, 2, −1) + (1, 1, −5, 3) = (2, 3, −3, 2).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Řešení: Zvolíme
e1 = u1 = (1, 2, 2, −1)
Položíme e2 = p · e1 + u2, pak
e1 · e2 = 0 = p · e1 · e1 + e1 · u2 =⇒ 0 = 10p − 10 =⇒ p = 1.
Máme tedy e2 = (1, 2, 2, −1) + (1, 1, −5, 3) = (2, 3, −3, 2). Analogicky
e3 = p1 · e1 + p2 · e2 + u3.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Řešení: Zvolíme
e1 = u1 = (1, 2, 2, −1)
Položíme e2 = p · e1 + u2, pak
e1 · e2 = 0 = p · e1 · e1 + e1 · u2 =⇒ 0 = 10p − 10 =⇒ p = 1.
Máme tedy e2 = (1, 2, 2, −1) + (1, 1, −5, 3) = (2, 3, −3, 2). Analogicky
e3 = p1 · e1 + p2 · e2 + u3.
e1 · e3 = 0 = p1 · e1 · e1 + p2 · e1 · e2 + e1 · u3 =⇒ 0 = 10p1 + 30
e2 · e3 = 0 = p1 · e1 · e2 + p2 · e2 · e2 + e2 · u3 =⇒ 0 = 26p2 − 26
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B7 a)
V e. p. R4 nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = [u1, u2, u3], kde
u1 = (1, 2, 2, −1), u2 = (1, 1, −5, 3), u3 = (3, 2, 8, −7).
Řešení: Zvolíme
e1 = u1 = (1, 2, 2, −1)
Položíme e2 = p · e1 + u2, pak
e1 · e2 = 0 = p · e1 · e1 + e1 · u2 =⇒ 0 = 10p − 10 =⇒ p = 1.
Máme tedy e2 = (1, 2, 2, −1) + (1, 1, −5, 3) = (2, 3, −3, 2). Analogicky
e3 = p1 · e1 + p2 · e2 + u3.
e1 · e3 = 0 = p1 · e1 · e1 + p2 · e1 · e2 + e1 · u3 =⇒ 0 = 10p1 + 30
e2 · e3 = 0 = p1 · e1 · e2 + p2 · e2 · e2 + e2 · u3 =⇒ 0 = 26p2 − 26
Pak p1 = −3 a p2 = 1 a
e3 = −3 · (1, 2, 2, −1) + (2, 3, −3, 2) + (3, 2, 8, −7) = (2, −1, −1, −2).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 2 / 10
6.2.B8 c)
Ve vektorovém prostoru R2[x] se skalárním součinem
f · g =
1
0
f(x) · g(x) dx.
nalezněte nějakou ortogonální bázi.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 3 / 10
6.2.B8 c)
Ve vektorovém prostoru R2[x] se skalárním součinem
f · g =
1
0
f(x) · g(x) dx.
nalezněte nějakou ortogonální bázi.
Řešení: Báze je např. u1 = 1, u2 = x, u3 = x2. Zvolíme
e1 = u1 = 1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 3 / 10
6.2.B8 c)
Ve vektorovém prostoru R2[x] se skalárním součinem
f · g =
1
0
f(x) · g(x) dx.
nalezněte nějakou ortogonální bázi.
Řešení: Báze je např. u1 = 1, u2 = x, u3 = x2. Zvolíme
e1 = u1 = 1.
Položíme e2 = p · e1 + u2,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 3 / 10
6.2.B8 c)
Ve vektorovém prostoru R2[x] se skalárním součinem
f · g =
1
0
f(x) · g(x) dx.
nalezněte nějakou ortogonální bázi.
Řešení: Báze je např. u1 = 1, u2 = x, u3 = x2. Zvolíme
e1 = u1 = 1.
Položíme e2 = p · e1 + u2, pak
e1 · e2 = 0 = p · e1 · e1 + e1 · u2 =⇒
=⇒ 0 = p ·
1
0
1 dx +
1
0
x dx = p +
1
2
=⇒ p = −
1
2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 3 / 10
6.2.B8 c)
Ve vektorovém prostoru R2[x] se skalárním součinem
f · g =
1
0
f(x) · g(x) dx.
nalezněte nějakou ortogonální bázi.
Řešení: Báze je např. u1 = 1, u2 = x, u3 = x2. Zvolíme
e1 = u1 = 1.
Položíme e2 = p · e1 + u2, pak
e1 · e2 = 0 = p · e1 · e1 + e1 · u2 =⇒
=⇒ 0 = p ·
1
0
1 dx +
1
0
x dx = p +
1
2
=⇒ p = −
1
2
a tedy
e2 = x −
1
2
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 3 / 10
e3 = p1e1 + p2e2 + u3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 4 / 10
e3 = p1e1 + p2e2 + u3
e1 · e3 = 0 = p1 · e1 · e1 + p2 · e1 · e2 + e1 · u3
e2 · e3 = 0 = p1 · e1 · e2 + p2 · e2 · e2 + e2 · u3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 4 / 10
e3 = p1e1 + p2e2 + u3
e1 · e3 = 0 = p1 · e1 · e1 + p2 · e1 · e2 + e1 · u3
e2 · e3 = 0 = p1 · e1 · e2 + p2 · e2 · e2 + e2 · u3
0 = p1
1
0
1 dx +
1
0
x2
dx =⇒ 0 = p1 +
1
3
=⇒ p1 = −
1
3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 4 / 10
e3 = p1e1 + p2e2 + u3
e1 · e3 = 0 = p1 · e1 · e1 + p2 · e1 · e2 + e1 · u3
e2 · e3 = 0 = p1 · e1 · e2 + p2 · e2 · e2 + e2 · u3
0 = p1
1
0
1 dx +
1
0
x2
dx =⇒ 0 = p1 +
1
3
=⇒ p1 = −
1
3
0 = p2
1
0
x −
1
2
2
dx +
1
0
x2
x −
1
2
dx =⇒
=⇒ 0 =
1
12
p2 +
1
12
=⇒ p2 = −1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 4 / 10
e3 = p1e1 + p2e2 + u3
e1 · e3 = 0 = p1 · e1 · e1 + p2 · e1 · e2 + e1 · u3
e2 · e3 = 0 = p1 · e1 · e2 + p2 · e2 · e2 + e2 · u3
0 = p1
1
0
1 dx +
1
0
x2
dx =⇒ 0 = p1 +
1
3
=⇒ p1 = −
1
3
0 = p2
1
0
x −
1
2
2
dx +
1
0
x2
x −
1
2
dx =⇒
=⇒ 0 =
1
12
p2 +
1
12
=⇒ p2 = −1
e3 = −
1
3
· 1 − 1 · x −
1
2
+ x2
= x2
− x +
1
6
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 4 / 10
6.2.B13
Nechť W = [u1, . . . , uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V .
Dokažte, že pak platí:
x ∈ W⊥
⇐⇒ x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 5 / 10
6.2.B13
Nechť W = [u1, . . . , uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V .
Dokažte, že pak platí:
x ∈ W⊥
⇐⇒ x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk.
Řešení: Zřejmě platí.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 5 / 10
6.2.B13
Nechť W = [u1, . . . , uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V .
Dokažte, že pak platí:
x ∈ W⊥
⇐⇒ x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk.
Řešení: Zřejmě platí.
„=⇒“
x ∈ W⊥
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 5 / 10
6.2.B13
Nechť W = [u1, . . . , uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V .
Dokažte, že pak platí:
x ∈ W⊥
⇐⇒ x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk.
Řešení: Zřejmě platí.
„=⇒“
x ∈ W⊥
=⇒ x ⊥ u pro ∀u ∈ W
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 5 / 10
6.2.B13
Nechť W = [u1, . . . , uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V .
Dokažte, že pak platí:
x ∈ W⊥
⇐⇒ x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk.
Řešení: Zřejmě platí.
„=⇒“
x ∈ W⊥
=⇒ x ⊥ u pro ∀u ∈ W =⇒ x ⊥ u1 ∧· · ·∧x ⊥ uk
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 5 / 10
6.2.B13
Nechť W = [u1, . . . , uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V .
Dokažte, že pak platí:
x ∈ W⊥
⇐⇒ x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk.
Řešení: Zřejmě platí.
„=⇒“
x ∈ W⊥
=⇒ x ⊥ u pro ∀u ∈ W =⇒ x ⊥ u1 ∧· · ·∧x ⊥ uk
„⇐=“
x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk
V 2.1.3
=⇒ x ⊥
k
i=1
riui ∀ri ∈ R
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 5 / 10
6.2.B13
Nechť W = [u1, . . . , uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V .
Dokažte, že pak platí:
x ∈ W⊥
⇐⇒ x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk.
Řešení: Zřejmě platí.
„=⇒“
x ∈ W⊥
=⇒ x ⊥ u pro ∀u ∈ W =⇒ x ⊥ u1 ∧· · ·∧x ⊥ uk
„⇐=“
x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk
V 2.1.3
=⇒ x ⊥
k
i=1
riui ∀ri ∈ R =⇒
=⇒ x ⊥ [u1, . . . , uk]
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 5 / 10
6.2.B13
Nechť W = [u1, . . . , uk] je daný podprostor v euklidovském prostoru V .
Dokažte, že pak platí:
x ∈ W⊥
⇐⇒ x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk.
Řešení: Zřejmě platí.
„=⇒“
x ∈ W⊥
=⇒ x ⊥ u pro ∀u ∈ W =⇒ x ⊥ u1 ∧· · ·∧x ⊥ uk
„⇐=“
x ⊥ u1 ∧ · · · ∧ x ⊥ uk
V 2.1.3
=⇒ x ⊥
k
i=1
riui ∀ri ∈ R =⇒
=⇒ x ⊥ [u1, . . . , uk] =⇒ x ∈ W⊥
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 5 / 10
6.2.B16 a)
V euklidovském prostoru R5 je dán podprostor
W = {(r + s + t, −r + t, r + s, −t, s + t) | r, s, t ∈ R} .
Nalezněte ortogonální bázi ortogonálního doplňku W⊥.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 6 / 10
6.2.B16 a)
V euklidovském prostoru R5 je dán podprostor
W = {(r + s + t, −r + t, r + s, −t, s + t) | r, s, t ∈ R} .
Nalezněte ortogonální bázi ortogonálního doplňku W⊥.
Řešení: Báze W je např. u1 = (1, −1, 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 0, 1),
u3 = (1, 1, 0, −1, 1). Je-li w = (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ W⊥, pak
w ⊥ ui =⇒ w · ui = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 6 / 10
6.2.B16 a)
V euklidovském prostoru R5 je dán podprostor
W = {(r + s + t, −r + t, r + s, −t, s + t) | r, s, t ∈ R} .
Nalezněte ortogonální bázi ortogonálního doplňku W⊥.
Řešení: Báze W je např. u1 = (1, −1, 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 0, 1),
u3 = (1, 1, 0, −1, 1). Je-li w = (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ W⊥, pak
w ⊥ ui =⇒ w · ui = 0.
x1 − x2 + x3 = 0
x1 + x3 + x5 = 0
x1 + x2 − x4 + x5 = 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 6 / 10


1 −1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 −1 1 0

 ∼ · · · ∼


1 −1 1 0 0 0
0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 1 1 0


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 7 / 10


1 −1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 −1 1 0

 ∼ · · · ∼


1 −1 1 0 0 0
0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 1 1 0


(s, −t, −s − t, s, t) =⇒ u1 = (1, 0, −1, 1, 0), u2 = (0, −1, −1, 0, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 7 / 10


1 −1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 −1 1 0

 ∼ · · · ∼


1 −1 1 0 0 0
0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 1 1 0


(s, −t, −s − t, s, t) =⇒ u1 = (1, 0, −1, 1, 0), u2 = (0, −1, −1, 0, 1)
e1 = u1 = (1, 0, −1, 1, 0)
e2 = p · e1 + u2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 7 / 10


1 −1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 −1 1 0

 ∼ · · · ∼


1 −1 1 0 0 0
0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 1 1 0


(s, −t, −s − t, s, t) =⇒ u1 = (1, 0, −1, 1, 0), u2 = (0, −1, −1, 0, 1)
e1 = u1 = (1, 0, −1, 1, 0)
e2 = p · e1 + u2 / · e1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 7 / 10


1 −1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 −1 1 0

 ∼ · · · ∼


1 −1 1 0 0 0
0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 1 1 0


(s, −t, −s − t, s, t) =⇒ u1 = (1, 0, −1, 1, 0), u2 = (0, −1, −1, 0, 1)
e1 = u1 = (1, 0, −1, 1, 0)
e2 = p · e1 + u2 / · e1
0 = 3p + 1 =⇒ p = −
1
3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 7 / 10


1 −1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 −1 1 0

 ∼ · · · ∼


1 −1 1 0 0 0
0 −1 0 0 −1 0
0 0 1 1 1 0


(s, −t, −s − t, s, t) =⇒ u1 = (1, 0, −1, 1, 0), u2 = (0, −1, −1, 0, 1)
e1 = u1 = (1, 0, −1, 1, 0)
e2 = p · e1 + u2 / · e1
0 = 3p + 1 =⇒ p = −
1
3
e2 = −
1
3
, −1, −
2
3
, −
1
3
, 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 7 / 10
6.2.B18 b)
V euklidovském prostoru R4 nalezněte ortogonální projekci vektoru
u = (−2, 2, 2, 5) do podprostoru W = [w1, w2, w3], w1 = (1, 1, −1, 2),
w2 = (3, 1, 0, 1), w3 = (2, 0, 1, −1).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 8 / 10
6.2.B18 b)
V euklidovském prostoru R4 nalezněte ortogonální projekci vektoru
u = (−2, 2, 2, 5) do podprostoru W = [w1, w2, w3], w1 = (1, 1, −1, 2),
w2 = (3, 1, 0, 1), w3 = (2, 0, 1, −1).
Řešení:
u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 8 / 10
6.2.B18 b)
V euklidovském prostoru R4 nalezněte ortogonální projekci vektoru
u = (−2, 2, 2, 5) do podprostoru W = [w1, w2, w3], w1 = (1, 1, −1, 2),
w2 = (3, 1, 0, 1), w3 = (2, 0, 1, −1).
Řešení:
u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥
.


1 1 −1 2
3 1 0 1
2 0 1 −1

 ∼


1 1 −1 2
0 −2 3 −5
0 −2 3 −5


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 8 / 10
6.2.B18 b)
V euklidovském prostoru R4 nalezněte ortogonální projekci vektoru
u = (−2, 2, 2, 5) do podprostoru W = [w1, w2, w3], w1 = (1, 1, −1, 2),
w2 = (3, 1, 0, 1), w3 = (2, 0, 1, −1).
Řešení:
u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥
.


1 1 −1 2
3 1 0 1
2 0 1 −1

 ∼


1 1 −1 2
0 −2 3 −5
0 −2 3 −5


u = t1 · w1 + t2 · w2 + y
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 8 / 10
6.2.B18 b)
V euklidovském prostoru R4 nalezněte ortogonální projekci vektoru
u = (−2, 2, 2, 5) do podprostoru W = [w1, w2, w3], w1 = (1, 1, −1, 2),
w2 = (3, 1, 0, 1), w3 = (2, 0, 1, −1).
Řešení:
u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥
.


1 1 −1 2
3 1 0 1
2 0 1 −1

 ∼


1 1 −1 2
0 −2 3 −5
0 −2 3 −5


u = t1 · w1 + t2 · w2 + y / · w1 / · w2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 8 / 10
6.2.B18 b)
V euklidovském prostoru R4 nalezněte ortogonální projekci vektoru
u = (−2, 2, 2, 5) do podprostoru W = [w1, w2, w3], w1 = (1, 1, −1, 2),
w2 = (3, 1, 0, 1), w3 = (2, 0, 1, −1).
Řešení:
u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥
.


1 1 −1 2
3 1 0 1
2 0 1 −1

 ∼


1 1 −1 2
0 −2 3 −5
0 −2 3 −5


u = t1 · w1 + t2 · w2 + y / · w1 / · w2
8 = 7t1 + 6t2
1 = 6t1 + 11t2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 8 / 10
6.2.B18 b)
V euklidovském prostoru R4 nalezněte ortogonální projekci vektoru
u = (−2, 2, 2, 5) do podprostoru W = [w1, w2, w3], w1 = (1, 1, −1, 2),
w2 = (3, 1, 0, 1), w3 = (2, 0, 1, −1).
Řešení:
u = x + y, kde x ∈ W, y ∈ W⊥
.


1 1 −1 2
3 1 0 1
2 0 1 −1

 ∼


1 1 −1 2
0 −2 3 −5
0 −2 3 −5


u = t1 · w1 + t2 · w2 + y / · w1 / · w2
8 = 7t1 + 6t2
1 = 6t1 + 11t2
t1 = 2, t2 = 1 =⇒ u = 2 · (1, 1, −1, 2) − (3, 1, 0, 1) = (−1, 1, −2, 3)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 8 / 10
6.2.A3
U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 9 / 10
6.2.A3
U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3.
Řešení: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 9 / 10
6.2.A3
U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3.
Řešení: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)
6.2.A7
U.p. netriviálního podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby platilo, že dim W⊥ <
dim W.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 9 / 10
6.2.A3
U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3.
Řešení: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)
6.2.A7
U.p. netriviálního podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby platilo, že dim W⊥ <
dim W.
Řešení: W = L((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0))
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 9 / 10
6.2.A3
U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3.
Řešení: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)
6.2.A7
U.p. netriviálního podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby platilo, že dim W⊥ <
dim W.
Řešení: W = L((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0))
6.2.A8
U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R5 tak, aby platilo, že dim W = dim W⊥.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 9 / 10
6.2.A3
U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3.
Řešení: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)
6.2.A7
U.p. netriviálního podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby platilo, že dim W⊥ <
dim W.
Řešení: W = L((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0))
6.2.A8
U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R5 tak, aby platilo, že dim W = dim W⊥.
Řešení: Neexistuje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 9 / 10
6.2.A3
U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3.
Řešení: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)
6.2.A7
U.p. netriviálního podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby platilo, že dim W⊥ <
dim W.
Řešení: W = L((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0))
6.2.A8
U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R5 tak, aby platilo, že dim W = dim W⊥.
Řešení: Neexistuje.
6.2.A9
U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby ortogonální projekcí vektoru u =
(1, 2, 3, 4) do podprostoru W byl nulový vektor.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 9 / 10
6.2.A3
U.p. ortogonálních vektorů, které generují euklidovský prostor R3, ale nejsou bází R3.
Řešení: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)
6.2.A7
U.p. netriviálního podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby platilo, že dim W⊥ <
dim W.
Řešení: W = L((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0))
6.2.A8
U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R5 tak, aby platilo, že dim W = dim W⊥.
Řešení: Neexistuje.
6.2.A9
U.p. podprostoru W euklidovského prostoru R4 tak, aby ortogonální projekcí vektoru u =
(1, 2, 3, 4) do podprostoru W byl nulový vektor.
Řešení: W = L((3, 1, 1, −2))
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 9 / 10
Domácí úkol - první část
První příklad
Je dán vektorový prostor R2[x] se skalárním součinem
f · g =
1
−1
f(x) · g(x) dx.
Rozhodněte, zda-li vektory f1 = 2x, f2 = 3x2 − 1, f3 = 3 tvoří bázi,
resp. ortogonální bázi, resp. ortonormální bázi tohoto euklidovského
prostoru.
Druhý příklad
V euklidovském prostoru R4 jsou dány vektory
u1 = (1, −2, 2, 1) u2 = (1, 3, 2, 1).
Ukažte, že jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru
R4.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 10 / 10
Domácí úkol - druhá část
Třetí příklad
V euklidovském prostoru R3 nalezněte ortogonální projekci vektoru
u = (3, −7, 8) do prostoru W = L((1, 1, −2), (3, 1, −1)).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 29.4.–30.4.2020 11 / 10