Kvadratické rovnice 1 1
Definice. Kvadratickou rovnicí rozumíme rovnici tvaru
ax2
+ bx + c = 0 , kde a = 0, a, b, c ∈ R.
Čísla a, b , c nazýváme koeficienty kvadratické rovnice, výrazy ax2
, bx a c nazýváme členy této rovnice, a
to po řadě kvadratický, lineární a absolutní.
Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice. Po vydělení rovnice nenulovým číslem a dostaneme
x2
+
b
a
x +
c
a
= 0 .
Její levou stranu upravíme pomocí doplnění na čtverec
x2
+ 2 ·
b
2a
· x +
b
2a
2
−
b2
4a2
+
c
a
= x +
b
2a
2
−
b2
− 4ac
4a2
.
Označíme-li D = b2
− 4ac, můžeme psát
x +
b
2a
2
=
D
(2a)2 .
Vzhledem k tomu, že levá strana této rovnice je nezáporná a jmenovatel pravé strany kladný, bude mít
řešená kvadratická rovnice v R řešení právě tehdy, když D ≥ 0. Dostáváme tedy tři případy:
1. Jestliže D < 0, rovnice v R nemá žádné řešení.
2. Pokud D = 0, platí
x +
b
2a
2
= 0 ⇔ x = −
b
2a
, (1)
rovnice tedy má 1 (tzv. dvojnásobný) kořen.
3. Pro D > 0 po odmocnění, které je v této situaci ekvivalentní úpravou, obdržíme
x +
b
2a
=
√
D
2a
⇔ x +
b
2a
= ±
√
D
2a
⇔ x1,2 =
−b ±
√
D
2a
, (2)
což znamená, že řešením rovnice jsou dva různé kořeny.
Všimněte si, že odvozený vzorec (2) lze použít i v situaci, kdy D = 0, neboť vyjádření (1) je vlastně jeho
speciálním případem.
Výraz D = b2
− 4ac nazýváme diskriminant kvadratické rovnice.
Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice (tzv. (Newton)-Viètovy vztahy).
Označme x1 a x2 kořeny uvažované kvadratické rovnice ax2
+ bx + c = 0. Tu můžeme vyřešit rovněž tak,
že její levou stranu rozložíme na součin, tj.
a (x − x1) (x − x2) = ax2
+ bx + c = 0 .
Po roznásobení tedy máme
ax2
− a (x1 + x2) x + ax1x2 = ax2
+ bx + c .
1
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
Porovnáním koeficientů u lineárního a absolutního členu dostaneme
−a (x1 + x2) = b ⇔ x1 + x2 = −
b
a
a
ax1x2 = c ⇔ x1x2 =
c
a
.
Uvedené vzorce sice nenahrazují vzorec (2), ale zato platí i v situaci, kdy D < 0. Můžeme s nimi tedy
počítat i v případě, že kořeny kvadratické rovnice nechceme či neumíme najít.
Rovnice - zadání úloh.
V R vyřešte rovnice
1.
√
3x2
− 5x − 2
√
3 = 0 ,
2.
√
2x2
− 5x +
√
8 = 0 ,
3.
√
3x2
−
√
8x −
√
12 = 0 ,
4.
√
2x4
− 2x2
−
√
32 = 0 ,
5.
√
3x6
+
√
32x3
−
√
192 = 0 ,
6.
6x2
+ 7x − 3 = 0 ,
7.
4x2
+ 11x + 6 = 0 ,
8.
6x2
− 19x + 10 = 0 ,
9.
4x4
− x2
− 18 = 0 ,
10.
8x6
− 215x3
− 27 = 0 ,
11.
25x2
− 30x + 9 = 0 ,
2
12.
9x2
+ 42x + 49 = 0 ,
13.
9x2
+ 42x + 50 = 0 ,
14.
25x2
− 9 = 0 ,
15.
−16x2
+ 81 = 0 ,
16.
2x2
− 3x = 0 ,
17.
√
2x2
+
√
8x = 0 ,
Rovnice - návody k řešení a výsledky úloh.
V úlohách 11. - 17. je výhodnější počítat bez užití vzorce (2).
1. K = −1/
√
3; 2
√
3 ,
2. K = 2
√
2; 1/
√
2 ,
3. K =
√
6; −
√
6/3 ,
4. užijte substituci x2
= y, K = ± 4
√
8 ,
5. užijte substituci x3
= y, K = 6
8/3; − 6
√
24 ,
6. K = {1/3; −3/2},
7. K = {−2; −3/4},
8. K = {2/3; 5/2},
9. užijte substituci x2
= y, K = {±3/2},
10. užijte substituci x3
= y, K = {−1/2; 3},
11. K = {3/5},
12. K = {−7/3},
13. K = ∅,
14. K = {±3/5},
15. K = {±9/4},
16. K = {0; 3/2},
17. K = {0; −2}.
3
Užití Viètových vztahů - zadání úloh.
1. Následující výrazy vyjádřete ve tvaru, který obsahuje jen součty či součiny hodnot x1 a x2.
a)
V1 =
1
x2
1
+
1
x2
2
,
b)
V2 = x−1
1 + x−1
2
−2
,
c)
V3 = x3
1 + x3
2 ,
d)
V4 =
√
1 + x1 +
√
1 + x2 .
2. Uvažujme rovnici 4x2
− 11x + 5 = 0. Aniž tuto rovnici řešíte, najděte alespoň jednu kvadratickou
rovnici s celočíselnými koeficienty, jejíž kořeny jsou
a) opačná čísla než kořeny uvažované rovnice,
b) druhými mocninami kořenů uvažované rovnice,
c) převrácenými hodnotami kořenů uvažované rovnice,
d) čísla o 2 větší než kořeny uvažované rovnice,
e) čísla 4 krát větší než kořeny uvažované rovnice.
3. Aniž řešíte rovnici x2
− x + 16 = 0, najděte alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou
(druhými) odmocninami kořenů zadané rovnice.
4. Označme x1 a x2 kořeny rovnice x2
+ x + 2 = 0. Aniž tuto rovnici řešíte, najděte alespoň jednu
kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla
1
x3
1
a
1
x3
2
.
4
Užití Viètových vztahů - návody k řešení a výsledky úloh.
1. Počítejme
a)
V1 =
1
x2
1
+
1
x2
2
=
x2
2 + x2
1
(x1x2)2 =
(x1 + x2)2
− 2x1x2
(x1x2)2 ,
b)
V2 = x−1
1 + x−1
2
−2
=
1
x1
+
1
x2
−2
=
x2 + x1
x1x2
−2
=
(x1x2)2
(x1 + x2)2 ,
c)
V3 = x3
1 + x3
2 = x3
1 + 3x2
1x2 + 3x1x2
2 + x3
2 − 3x2
1x2 − 3x1x2
2 = (x1 + x2)3
− 3x1x2 (x1 + x2) ,
d)
V4 =
√
1 + x1 +
√
1 + x2 =
√
1 + x1 +
√
1 + x2
2
=
= 1 + x1 + 2
√
1 + x1
√
1 + x2 + 1 + x2 = 2 + (x1 + x2) + 2 1 + (x1 + x2) + x1x2 .
2. Pro kořeny x1 a x2 rovnice 4x2
−11x+5 = 0 platí x1+x2 = 11
4
a x1x2 = 5
4
. Aby nedošlo k duplicitnímu
značení hledejme rovnici ve tvaru ay2
+ by + c = 0.
a) Má platit y1 = −x1 a y2 = −x2,
y1 + y2 = −
b
a
= −x1 − x2 = − (x1 + x2) = −
11
4
a
y1y2 =
c
a
= −x1 · (−x2) = x1x2 =
5
4
.
Zvolíme-li a = 4, dopočteme b = 11 a c = 5. Jedna z vyhovujících rovnic je tedy tvaru
4y2
+ 11y + 5 = 0.
b) Např. 16y2
− 81y + 25 = 0,
c) např. 5y2
− 11y + 4 = 0,
d) např. 4y2
− 27y + 43 = 0,
e) např. y2
− 11y + 20 = 0,
3. Např. y2
− 3y + 4 = 0.
4. Např. 8y2
− 5y + 1 = 0.
5