16. Funkce, základní pojmy a vlastnosti
Teoretická část
 Pojem funkce. Zadání funkce: analyticky (rovnicí), výčtem (tabulkou), graficky, slovním popisem.
 Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Graf funkce. Inverzní funkce.
 Základní vlastnosti funkcí: sudost a lichost funkce, monotónnost, funkce omezená shora, funkce omezená
zdola, funkce omezená. Extrémy funkce. Periodičnost funkce, základní perioda. Funkce prostá.
Praktická část
Základní poznatky
1) Sestrojte graf     4;12;31:,  yxxyRRyxV
[pětiúhelník ABCDE kromě vrcholů A, C, D, E a kromě stran CD a AE,
kde A[-3;1], B[0;1], C[2;3], D[2;4], E[-3;4]]
2) Určete všechny základní vlastnosti funkce zadané graficky:
   5;5fD ,   3;2fH . Není ani sudá, ani lichá.
Není monotónní. Lze ale například určit, že na 0;3 je klesající
nebo na 3;5  je rostoucí nebo na 5;3 je rostoucí. Na
3;3 je nerostoucí a na 5;0 je neklesající. Je omezená, neboť
je současně omezená shora  3h i zdola  2d . Ostré
maximum má v bodě -3, minima má ve všech bodech intervalu
3;0 . Periodická není. Prostá není. 
Typové příklady standardní náročnosti
3) Nalezněte inverzní funkci
1
f k funkci f a obě zakreslete do jednoho obrázku:
a) 23:  xyf , 2;1x . 






4;5,
3
2
3
1
:1
xxyf
b)
2
2
1
: xyf  ,  ;0x . 






;0,2:1
xxyf
4) Určete definiční obory funkcí
a) 4: 2
 xxyfa   RfD a 
b)
3
1
:



x
x
yfb     3 RfD b
c)
x
x
yfc



3
3
:   cfD
d)
3
2
:



x
x
yfd      ;32;dfD
e)
3
2
:



x
x
yfe      ;3efD
f)
x
yf f


1
1
:     1;1ffD
5) Rozhodněte o sudosti či lichosti funkcí:
a) 3
: xxyfa  [lichá]
b) 13: 2
 xxyfb [ani S, ani L]
c) 13:  xyfc [sudá]
d) xyfd 1: [ani S, ani L]
6) Rozhodněte o druhu monotónnosti funkcí, případně jejich monotónnost dokažte:
a) 16:  xyfa [rostoucí]
b) 12:  xyfb [klesající]
c) 2
3: xyfc  [není monotónní]
d) 2: yfd [nerostoucí,neklesající]
7) Zjistěte, zda jsou funkce omezené, případně jejich omezenost dokažte:
a) 1
2
1
:  xyfa [není omezená]
b) 1:  xyfb [není omezená]
c) 2
: xyfc  [není omezená, je
omezená shora]
d) 1: yfd [je omezená]
8) Dokažte, že funkce 12:  xyf má na intervalu 3;1 v bodě 3 ostré maximum a v -1 ostré minimum.
Rozšiřující cvičení
S pojmem funkce úzce souvisí pojmy, na které se definice funkce odvolává. Je dobré promyslet pojmy:
uspořádaná dvojice, kartézský součin množin, binární relace a zobrazení. Pak lze funkci definovat jako
zobrazení z ℝ do ℝ …
9) Jsou dány množiny 2;1A ,  1,0,2B . Sestrojte graf
a) BA b) AA c) BB
10) Načrtněte graf funkce f, víte-li, že platí současně:
     0;3 fD
   23 f
 Průsečíky grafu funkce f s osou x jsou v bodech  0;11 P a  0;52P .
 V intervalu 0;3 je funkce f rostoucí a není omezená shora.
 V intervalu  03;3  je funkce f sudá.
 V intervalu ;3 je funkce f rostoucí a omezená shora číslem 4h .
a) Z grafu určete obor hodnot funkce f.
b) Určete souřadnice průsečíku grafu funkce f s osou y.
c) Je funkce f omezená zdola v definičním oboru?
d) Určete maximum funkce f v definičním oboru.
e) Určete minimum funkce f v definičním oboru.
f) Je funkce f prostá v definičním oboru?
g) Určete alespoň jeden interval, ve kterém je funkce f spojitá.
[Petáková 26/28, řešení 187/28]