6.B Kvadratické nerovnice
Kvadratickou nerovnicí rozumíme výrokovou formu tvaru
ax2
+bx+c > 0;
ax2
+bx+c < 0;
ax2
+bx+c ≥ 0;
ax2
+bx+c ≤ 0, kde a, b, c ∈ R, a ≠ 0
Řešení kvadratické nerovnice:
1. POČETNĚ (převedením kvadratické nerovnice na nerovnici v součinovém tvaru)
Př. Řešte v R: ax2
+bx+c < 0, kde a > 0
Řeš.: Nechť r a s jsou kořeny rovnice ax2
+bx+c = 0.
Pak převedeme zadanou kvadratickou nerovnici do součinového tvaru
a(x-r).( x-s) < 0
a dořešíme
buď metodou nulových bodů s použitím číselné osy
nebo úvahou, že a(x-r).( x-s) < 0 ⇔
⇔ (x-r > 0 ˄ x-s < 0) ˅ (x-r < 0 ˄ x-s > 0) ⇔
⇔ (x > r ˄ x < s) ˅ (x < r ˄ x > s) ⇔
⇔ x є K1 ˅ x є K2
K = K1 ∪ K2
Pozn. Pokud kořeny r, s neexistují, je množinou kořenů nerovnice buď množina všech
reálných čísel nebo prázdná množina.
2. GRAFICKY
Př. . Řešte v R: ax2
+bx+c < 0, kde a > 0
Řeš. (jedno z možných): ax2
< -bx-c
Zavedeme funkci f: y= ax2
a relaci T: y < -bx-c.
Znázorníme jejich grafy v soustavě souřadnic – množina kořenů je množina x-ových
souřadnic všech bodů, které tvoří průnik obou grafů, tedy K= (r, s).
Pozn. Nevýhodou popsané metody je možná nepřesnost při „čtení“ průsečíků r, s .
T: y < -bx-c
3.KOMBINACÍ POČETNÍ A GRAFICKÉ METODY
Př. Řešte v R: ax2
+bx+c < 0, kde a > 0
Řeš.: Nechť r a s jsou kořeny rovnice ax2
+bx+c = 0.
Pak parabola, která je grafem funkce f: y = ax2
+bx+c, protíná osu x v bodech P1[r,0]
a P2[s,0]. Pokud je podle zadání a > 0, má funkce f minimum v bodě, který odpovídá
vrcholu dotyčné paraboly.
Množina kořenů se určí podle znaménka nerovnosti v zadané nerovnici. V našem
příkladu je y = ax2
+bx+c < 0 a tomu odpovídá K= (r, s).
r s x
y