7.B Rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami
Pro každé reálné číslo a∈R je absolutní hodnota



≤−−
≥−
=
0,
0,
:
alijea
alijea
a
Řešení rovnic a nerovnic s absolutními hodnotami:
Jednoduché rovnice a nerovnice
a) využití geometrického významu absolutní hodnoty (u rovnic i nerovnic)
b) využití umocnění obou stran 1) rovnice (často neekvivalentní úprava
přinášející nezbytnost zkoušky!)
2) nerovnice (lze provést pouze v případě,
že je zaručena nezápornost obou umocňovaných
stran)
Složitější rovnice a nerovnice (s větším počtem absolutních hodnot výrazů)
– optimální (i přehledné) řešení – tabulkou vytvořenou s pomocí tzv. nulových bodů.
Geometrický význam absolutní hodnoty a a absolutní hodnoty ba − :
Absolutní hodnota |a| se pro libovolné a∈R rovná vzdálenosti obrazu tohoto čísla
od počátku číselné osy (od obrazu čísla 0).
Absolutní hodnota |a-b| , resp. |b-a|, se pro libovolná a ,b∈R rovná vzájemné vzdálenosti
obrazů dotyčných čísel a, b na číselné ose.
Některé vlastnosti absolutní hodnoty:
Pro každé reálné číslo a∈R a pro každé reálné číslo b∈R platí:
1) | |a ≥ 0
2) | |a = | |a−
3) a ≤ | |a , a− ≤ | |a
4) | | | |a b− ≤|| | | |a b− |
5) 0 ≤ | |a b+ ≤ | | | |a b+
6) baba .. =
7)
aa
b b
= , je-li 0b ≠
Pozn.: Pro každé a∈R platí: 2
a = | |a