41B. Metrické vlastnosti přímek a rovin
1) Odchylky:
a) dvou přímek p, q: ( ) αω =qp, …… 〉〈∈
2
;0
π
α
vu
vu
rr
rr
.
.
coscos == ϕα ,
kdeϕ je odchylka obou směrových vektorů vu
rr
, přímek p, q… πϕ ;0∈
b) dvou rovin ρ, σ: ( ) αω σρ =, …… 〉〈∈
2
;0
π
α
σρ
σρ
ϕα
nn
nn
rr
rr
.
.
coscos == ,
kdeϕ je odchylka normálových vektorů rovin ρ, σ … πϕ ;0∈
c) přímky p od roviny ρ: ( ) αω ρ =,p …… 〉〈∈
2
;0
π
α
ρ
ρ
ϕα
nu
nu
rr
rr
.
.
cossin == ,
kdeϕ je odchylka směrového vektoru u
r
přímky p a normálového vektoru ρn
r
roviny ρ … πϕ ;0∈
2)Vzdálenosti:
a) bodu M od přímky p v rovině: M [xM;yM],
p: ax + by + c = 0
( ) 22
,;
ba
cbyax
pMpMv
MM
+
++
==
b) bodu M od roviny ρ v prostoru: M [xM;yM;zM],
ρ : ax + by + cz + d = 0
( ) 222
,;
cba
dczbyax
MMv
MMM
++
+++
== ρρ
c) dvou rovnoběžných přímek p, q v rovině: p: ax + by + c1 = 0
q: ax + by + c2 = 0
( ) 22
12
,;
ba
cc
qpqpv
+
−
==
Pozn.: Výpočet vzdálenosti rovnoběžných přímek v rovině lze provést i tak, že zvolíme libovolný bod
přímky p a vypočítáme jeho vzdálenost od přímky q pomocí vzorce uvedeného v případě a).
d) dvou rovnoběžných rovin ρ, σ: ρ : ax + by + cz + d1 = 0 ,
σ: ax + by + cz + d2 = 0
( ) 222
12
,;
cba
dd
v
++
−
== σρσρ
Pozn.: Pro výpočet vzdálenosti rovnoběžných rovin lze zvolit libovolný bod z roviny ρ a vypočítat pomocí
předchozího vzorce vzdálenost tohoto bodu od roviny σ. To bude zároveň hledaná vzdálenost ρ, σ.
e) bodu M od přímky p v prostoru: výpočet je třeba provést pomocí prostředků analytické
geometrie (vzorec pro tento případ neexistuje).
Jedna z řady možností: 1) Najdeme rovnici roviny ρ vedené bodem M kolmo k přímce p.
2) Vypočítáme průsečík M´ přímky p a roviny ρ.
3) ( ) M´,,; MpMpMv ==
f) přímky p od roviny ρ v případě, že p║ρ představuje vzdálenost libovolného bodu
přímky p od roviny ρ (viz případ b) ).
g) dvou rovnoběžných přímek p, q v prostoru představuje vzdálenost libovolného bodu
přímky p od přímky q (neexistuje vzorec – řešíme způsobem e)!!!)
h) dvou mimoběžných přímek p, q představuje délku v = v(p, q) tzv. osy mimoběžek. Osa
mimoběžek je nejkratší ze všech jejich příček ( tj. úseček AB, kde A je
libovolný bod přímky p, B je libovolný bod přímky q). Osa mimoběžek je ta
z příček, která je k oběma mimoběžkám kolmá.
Jedna z možností, jak vypočítat vzdálenost v dvou mimoběžných přímek p, q, využívá
skutečnosti, že objem rovnoběžnostěnu, jehož dvě hrany vložíme do uvedených
mimoběžek, lze vypočítat dvěma způsoby:
( ) zwxuVABCDEFGH
rrr
.=
( )
wxu
zwxu
v rr
rrr
.
= ,
vwxuVABCDEFGH .
rr
=
kde u
r
je směrový vektor přímky p,
w
r
je směrový vektor přímky q,
z
r
je vektor vložený do libovolné příčky mimoběžek p, q
p
q
A B
C
D
E F
G
H
u
r
w
rz
r
v