11.   Pravoúhlý trojúhelník, Pythagorova a Eukleidovy věty
Teoretická část
Eukleidovy věty o výšce a o odvěsně.
Pythagorova věta a její odvození pomocí Eukleidových vět
Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku (sin a, cos a, tg a, cotg a)
Užití E. v. a P. v. při konstrukci úsečky dané velikosti
Praktická část
Základní poznatky:
1) Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C a dále: a) ca = 4 cm, Cb = 9 cm b) b = 5 cm, c = 13 cm
Určete početně (a výsledek ověřte graficky) prvky: a, b, c, ca, Cb, vc, a, B.
144
[a) VŠ2 cm, VTÍ7 cm,13 cm, 4 cm, 9 cm, 6 cm, 33°41', 56°19' b) 12 cm, 5 cm, 13 cm, -cm,
13
— cm, — cm, 67°23', 22°37'] 13 13
2) Je dána úsečka | AB| = a např. 6 cm.
a) Rozdělte úsečku AB v poměru 2:3.
2 4
b) Sestrojte úsečku IAXI = - IABL IAYI = - IABI.
3 3
Délku úsečky a volte např. a = 6 cm.
3) MA - podzim 2016        V každé zobrazené situaci je šířka řeky označena písmenem s a vzdálenost AB je 50 m. K situacím na obrázcích a), b) přiřaďte odpovídající šířku řeky
s, zaokrouhlenou na celé metry.
a)
b)
A) méně než 28 m
B) 30 m
C) 32 m
E) více než 36 m [a) C, b) B]
4) Sestrojte úsečku délky Vl3 cm užitím:
a) Pythagorovy věty b) Eukleidovy věty o výšce c) Euleidovy věty o odvěsně
Správnost výsledku ověřte výpočtem na kalkulačce a přeměřením. Typové příklady standardní náročnosti
5) Je dána kružnice k (S, r) a bod M, který má od středu S kružnice k vzdálenost | SM | = d > r. Z bodu M
vedené tečny ti, t2 se dotýkají kružnice k v bodech Ti, T2. Určete délku tětivy | T1T21 a její vzdálenost od
středu kružnice k. r 2r r~i—ľ r2 n
y     j d -r j
a a
6)  Určete obsah obdélníku, jehož délka a = 84 cm, má-li jeho úhlopříčka délku o 72 cm větší než je jeho šířka. [1092 cm2]
7)  Dvě tětivy AB a CD kružnice k (S, 7cm), které mají délky | AB | =6 cm, | CD | = 10 cm se protínají, kolmo v bodě T. Vypočítejte vzdálenost bodu T od středu kružnice k.
[8 cm]
8) Jakou část zemského povrchu lze vidět z kosmické lodi letící ve výšce 250 km nad povrchem Země?
[9 670 650 km2]
9)  Sestrojte úsečku délky:     a) Vó cm
c) x = — (a< b, jednotková úsečka ...zadáno)
ci. b
b) x = —— (a, b, c...zadáno)
c
d)
■\la2 +b2 T
Volte délky úseček např. a = 8 cm, b = 2 cm, c = 4 cm, d = 3 cm, jednotková úsečka má délku 1 cm. Správnost konstrukce ověřte výpočtem a přeměřením.
10) Sestrojte čtverec stejného obsahu, jako je obsah zadaného:
a) obdélníku se stranami a, b        b) trojúhelníku se stranami a, b, c
Volte délky úseček např. a = 6 cm, b = 4 cm, c = 7 cm. Správnost konstrukce ověřte výpočtem a přeměřením. (Zadáním stran trojúhelníku je po jeho sestrojení známá také délka kterékoliv jeho výšky.)
. cm
[a) x = y/a-b cm        b) x
11) Sestrojte kružnici, která je soustředná s daným kruhem o poloměru 4 cm a dělí ho na dvě části o stejném
obsahu.
[r = 2V2 cm]
12) MA - 2017 Ve větru se zlomil 36 m vysoký
strom. Vrchol zlomeného stromu se dotýká země, a to ve vzdálenosti 12 m od paty kmene stromu. (Tloušťku kmene stromu zanedbáváme.) Vypočtěte, v jaké výšce h nad zemí se strom zlomil.
[h = 16 m]
Rozšiřující cvičení
36 m
12 m
-* V
13) Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky a = 22 cm, c = 12 cm, je-li jeho výška o 1 cm menší než délka ramene.   [204 cm2]
14) Je dána kružnice k (S; 5 cm) a bod M, který má od středu S kružnice k vzdálenost d = 10 cm. Jakou vzdálenost od středu S má přímka p, která prochází bodem M a vytíná na kružnici k tětivu délky n = 6 cm? [4 cm]
15) Kružnice o poloměru r je opsána rovnoramenným trojúhelníkem ABC, jehož výška v = 5r. Vypočítejte
délku základny AB tohoto trojúhelníku.
2rVÍ5