13. Podobná zobrazení
Teoretická část
 Podobnost – kdy jsou dva útvary podobné?
 Podobnost trojúhelníků (sss, sus, uu, Ssu)
 Podobná zobrazení, poměr podobnosti.
 Stejnolehlost jako druh podobného zobrazení, koeficient stejnolehlosti.
 Stejnolehlost kružnic, společné tečny.
Praktická část
Základní poznatky
1) Je dán obecný trojúhelník 𝐴𝐵𝐶. Narýsujte
a) △ 𝐴1 𝐵1 𝐶1, který je obrazem △ 𝐴𝐵𝐶 ve stejnolehlosti se středem v bodě 𝐴 a koeficientem
stejnolehlosti 2.
b) △ 𝐴2 𝐵2 𝐶2, který je obrazem △ 𝐴𝐵𝐶 ve stejnolehlosti se středem v bodě 𝐵 a koeficientem
stejnolehlosti −
1
2
.
Jaké jsou poměry podobnosti v těchto zobrazeních?
2) Je dána kružnice 𝑘(𝑆, 𝑟 = 2,5 𝑐𝑚) a body 𝑀 a 𝑁 s vlastností 𝑀 ∈ 𝑘 a 𝑁 leží uvnitř kruhu určeného
kružnicí 𝑘. Narýsujte:
a) 𝑘1, která je obrazem 𝑘 ve stejnolehlosti se středem v bodě 𝑀 a koeficientem stejnolehlosti −
3
2
.
b) 𝑘2, která je obrazem 𝑘 ve stejnolehlosti se středem v bodě 𝑁 a koeficientem stejnolehlosti
1
2
.
3) Jsou dány dva body 𝑂1 a 𝑂2, |𝑂1 𝑂2| = 6 𝑐𝑚 a dále dvě kružnice 𝑘1(𝑂1, 𝑟1 = 3 𝑐𝑚), 𝑘2(𝑂2, 𝑟2 = 1 𝑐𝑚).
Nalezněte všechny středy stejnolehlostí těchto kružnic a všechny jejich společné tečny.
Typové příklady standardní náročnosti
4) Je dána kružnice 𝑘(𝑆, 𝑟) a bod 𝑀, který leží uvnitř kružnice 𝑘. Bodem 𝑀 veďte tětivu 𝑋𝑌 tak, aby platil
vztah |𝑋𝑀|: |𝑌𝑋| = 2: 3.
5) Je dána kružnice 𝑘(𝑆, 𝑟) a bod 𝐴, který leží vně kružnice 𝑘. Bodem 𝐴 veďte sečnu 𝑝 kružnice 𝑘 tak, aby
platil vztah|𝐴𝑌| = 3|𝐴𝑋|, kde 𝑋 a 𝑌 jsou průsečíky přímky 𝑝 s kružnicí 𝑘.
6) Sestrojte △ 𝐴𝐵𝐶, je-li dáno:
a) 𝑎: 𝑏: 𝑐 = 2: 3: 4 a 𝑣 𝑎 = 5 𝑐𝑚,
b) 𝛼, 𝛽, 𝑡 𝑐.
7) Ostroúhlému △ 𝐴𝐵𝐶 vepište obdélník 𝐾𝐿𝑀𝑁 tak, aby 𝐾𝐿 ⊂ 𝐴𝐵, 𝑀 ∈ 𝐵𝐶, 𝑁 ∈ 𝐴𝐶 a aby platilo:
|𝐾𝐿|: |𝐿𝑀| = 3: 4.
8) Je dán ostrý úhel 𝐴𝑉𝐵 a bod 𝑄 tak, že leží uvnitř tohoto úhlu. Sestrojte půlkružnici 𝑘 tak, aby procházela
bodem 𝑄, dotýkala se polopřímky 𝑉𝐴 a měla průměr 𝑅𝑃 na polopřímce 𝑉𝐵.
Rozšiřující cvičení
9) Nechť je dána přímka 𝑡 a na ní bod 𝑇, dále nechť je dána kružnice 𝑘 v jedné z polorovin vyťatých přímkou
𝑡. Sestrojte kružnici 𝑚, která se dotýká dané kružnice 𝑘 a dané přímky 𝑡 v bodě 𝑇.
Návody k řešení:
1) Poměry podobnosti jsou 2 a
1
2
.
2) 𝑘1 a 𝑘2 jsou kružnice s poměrem podobnosti
3
2
a
1
2
.
3) Středy stejnolehlosti jsou vždy právě dva. Společné tečny jsou v zadaném příkladu právě čtyři, tedy
maximální možný počet.
4) 𝑌 ∈ 𝑘 ∩ 𝑘1, kde 𝑘1 vznikne zobrazením kružnice 𝑘 ve stejnolehlosti se středem 𝑀 a koeficientem −
3
2
.
5) 𝑌 ∈ 𝑘 ∩ 𝑘1, kde 𝑘1 vznikne zobrazením kružnice 𝑘 ve stejnolehlosti se středem 𝐴 a koeficientem 3.
6) a) pomocný útvar … libovolný trojúhelník 𝐴′𝐵′𝐶′ s vlastností 𝑎′: 𝑏′: 𝑐′ = 2: 3: 4.
Pak hledaný △ 𝐴𝐵𝐶 vznikne zobrazením trojúhelníku 𝐴′𝐵′𝐶′ ve stejnolehlosti se středem v bodě 𝐴 = 𝐴′
a koeficientem stejnolehlosti
𝑣 𝑎
𝑣 𝑎′
.
b) obdobně přes pomocný trojúhelník a stejnolehlost se středem v bodě 𝐶 = 𝐶′.
7) Pomocný útvar … obdélník 𝐾1 𝐿1 𝑀1 𝑁1 vepsaný do zadaného ostroúhlého trojúhelníku 𝐴𝐵𝐶 tak, že
𝐾1 𝐿1 ⊂ 𝐴𝐵, 𝑁1 ∈ 𝐴𝐶, |𝐾1 𝐿1|:|𝐿1 𝑀1| = 3: 4. Pak hledaný obdélník 𝐾𝐿𝑀𝑁 vznikne zobrazením obdélníku
𝐾1 𝐿1 𝑀1 𝑁1 ve stejnolehlosti se středem 𝐴 a koeficientem stejnolehlosti
|𝐴𝑀|
|𝐴𝑀1|
.
8) Pomocný útvar … libovolná půlkružnice 𝑘′ s vlastnostmi: dotýká se ramene 𝑉𝐴, její průměr 𝑅1 𝑃1 ∈ 𝑉𝐵.
Pak hledaná půlkružnice 𝑘 vznikne zobrazením půlkružnice 𝑘′ ve stejnolehlosti se středem 𝑉 a
koeficientem stejnolehlosti
|𝑉𝑄|
|𝑉𝑄′|
, kde 𝑄′ ∈ 𝑘1 ∩ 𝑉𝑄. Úloha má dvě řešení.
9) Využijte stejnolehlosti se středem v bodě dotyku kružnice hledané a zadané.