22. Exponenciální a logaritmické funkce
Teoretická část
 Rovnice a grafy exponenciálních a logaritmických funkcí.
 Jejich vlastnosti, např. definiční obor logaritmické funkce.
 Souvislost mezi nimi – jsou to vzájemně inverzní funkce.
 Dekadický a přirozený logaritmus.
 Pravidla pro počítání s logaritmy.
Praktická část
Základní poznatky
1. Sestrojte grafy funkcí (můžete pro porovnání do jednoho obrázku)
a) 𝑓1: 𝑦 = (
5
2
)
𝑥
[[0; 1] ∈ 𝑓1, [1;
5
2
] ∈ 𝑓
1
, [−1;
2
5
] ∈ 𝑓
1
, … ]
b) 𝑓2: 𝑦 = (
2
5
)
𝑥
[[0; 1] ∈ 𝑓2, [1;
2
5
] ∈ 𝑓
2
, [−1;
5
2
] ∈ 𝑓
2
, … ]
2. Sestrojte grafy funkcí (můžete pro porovnání do jednoho obrázku)
a) 𝑓1: 𝑦 = log 5
2
𝑥 [[1; 0] ∈ 𝑓1, [
5
2
;1] ∈ 𝑓
1
, [
2
5
; −1] ∈ 𝑓
1
,… ]
b) 𝑓2: 𝑦 = log 2
5
𝑥 [[1; 0] ∈ 𝑓2, [
2
5
;1] ∈ 𝑓
2
, [
5
2
; −1] ∈ 𝑓
2
,… ]
3. Vypočítejte bez užití kalkulačky
a) log3 243 + log4
1
256
+ log0,2 0,04 [3]
b) 25log25 5
+ 11log11 7 [12]
c) log2 log3 81 [2]
4. Spočtěte bez použití kalkulačky
a) 2 log 4 + log 3 − log 6 + 1 [log 80]
b) ln 4 + ln
1
3
− 2(ln 2 + ln
1
4
) [ln
16
3
]
Typové příklady standardní náročnosti
5. Porovnejte s číslem 1 pomocí grafu vhodné funkce, tj. bez použití kalkulačky:
a) (
2
5
)
3
4
[(
2
5
)
3
4
< 1]
b) (
41
40
)
0,2
[(
41
40
)
0,2
> 1]
c) (
𝜋+1
4
)
−2
[(
𝜋+1
4
)
−2
< 1]
6. Určete, pro která r je funkce rostoucí:
𝑓: 𝑦 = (
𝑟−3
𝑟+2
)
𝑥
[𝑟 ∈ (−∞; −2)]
7. Určete definiční obor funkce
a) 𝑓1: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥2
− 5𝑥 + 6) [𝐷(𝑓1) = (−∞; 2) ∪ (3; ∞)]
b) 𝑓2: 𝑦 = √ log log 𝑥 [𝐷(𝑓2) = ⟨10; ∞)]
8. Určete definiční obor, obor hodnot a načrtněte graf funkce
a) 𝑓1: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + 3) − 2 [
𝐷(𝑓1) = (−3; ∞), 𝐻(𝑓1) = 𝑅
[0; 0] → [−3; −2], [1; 0] → [−2; −2]
]
b) 𝑓2: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 (−𝑥 + 3) + 4 [
𝐷(𝑓2) = (−∞; 3), 𝐻(𝑓2) = 𝑅
[0; 0] → [3; 4], [1; 0] → [2; 4]
]
Rozšiřující cvičení
9. Určete definiční obor, obor hodnot a načrtněte graf funkce
𝑓: 𝑦 = log sin 𝑥 [𝐷(𝑓) = (2𝑘𝜋; 𝜋(2𝑘 + 1)), 𝐻(𝑓) = (−∞; 0⟩]
Poznámka:
Pro případné zadání exponenciálních nebo logaritmických funkcí v programech typu Geogebra nebo
Wolframalpha.com a další použijte do příkazového řádku následující syntaxi:
 Exponenciální funkce 𝑓: 𝑦 = 2 𝑥
f: y = 2^x
 Exponenciální funkce 𝑓: 𝑦 = (
1
2
)
𝑥
− 3 f: y = (1/2)^x-3
 Logaritmické funkce 𝑓: 𝑦 = log(𝑥 + 1) f: y = lg(x+1)
 Logaritmické funkce 𝑓: 𝑦 = log 3
𝑥 + 1 f: y = log(3, x)+1
 Logaritmické funkce 𝑓: 𝑦 = 2 ln 𝑥 f: y = 2ln(x)
Ve Wolframalpha si nastavte funkci reálné proměnné, tj. Real-valued plot, nikoliv Complex-valued plot.