28. Kombinatorika
Teoretická část
 Kombinatorická pravidla.
 Variace bez opakování a s opakováním + permutace (bez opakování).
 Permutace s opakováním.
 Kombinace bez opakování a s opakováním.
 Vlastnosti kombinačních čísel.
 Počítání s faktoriály a s kombinačními čísly.
Praktická část
Základní poznatky:
Poznámka: Ve výsledcích příkladů 2 – 6 této části uveďte také druh kombinatorické skupiny, kterou příklad procvičuje.
1) MA 2017 Čtyřciferné přirozené číslo se má sestavit ze čtyř různých číslic. Na prvním
místě má být číslice 2 a na místě desítek lichá číslice. (Daným podmínkám vyhovují např. čísla
2 430 a 2 793.) Kolik různých čísel je možné uvedeným způsobem sestavit?
a) 21 b) 240 c) 280 d) 360 e) jiný počet [C]
2) Je dána množina M = {1, 2, 3, 4, 5}.
a) Kolik trojciferných čísel, v nichž se neopakují cifry, lze vytvořit z jejich prvků?
[60, variace 3. třídy z 5 prvků bez opakování]
b) Kolik z nich je dělitelných pěti?
[12, variace bez opakování]
c) Kolik pěticiferných čísel bez opakování číslic lze vytvořit z prvků množiny M?
[120, permutace z 5 prvků (bez opakování) nebo
variace 5. třídy z 5 prvků bez opakování]
3) Řešte úlohu č. 2 pro případ, kdy se cifry mohou opakovat.
[a) 125, variace 3. třídy z 5 prvků s opakováním
b) 25, variace s opakováním c) 3125, variace 5.
třídy z 5 prvků s opakováním]
4) Kolik existuje osmiciferných čísel, ve kterých jsou 3 dvojky, 1 pětka a 4 šestky?
[280, 8 členné permutace s opakováním typu
P´(3,1,4)]
5) Kolik existuje tříprvkových podmnožin množiny M?
[10, kombinace 3. třídy z 5 prvků bez opakování]
6) Student psal v matematice během pololetí 7 písemných prací a známky na konci pololetí
uspořádal od nejlepších po nejhorší, např. 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5. Kolik různých výsledků mohl
student získat?
[330, kombinace 7. třídy z 5 prvků s opakováním]
7) Vyjádřete jedním kombinačním číslem:
a) 











9
17
8
17
b) 























3
6
3
5
3
4
3
3
[a) 





9
18
b) 





4
7
]
Typové příklady standardní náročnosti
8) MA 2016 Je dána rovnice s neznámou nN:
!10
!80
!10
!80
!9
!80 

n
Jaké je řešení rovnice? A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) jiné řešení
[A]
9) Kolik přímek je určeno 12 body, jestliže:
a) žádné tři body neleží na přímce? b) čtyři z nich leží na přímce? [66, 61]
10) S připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentu vystoupit 6 poslanců A, B, C, D, E,
F. Určete počet:
a) všech možných pořadí jejich vystoupení.
b) všech možných pořadí jejich vystoupení, v nichž vystupuje A po E.
c) všech možných pořadí jejich vystoupení, v nichž vystupuje A ihned po E
[720, 360, 120]
11) MA 2014 Trenér vybírá z 5 děvčat a 4 chlapců šestičlennou skupinu, v níž budou 3 dívky
a 3 chlapci. Kolika způsoby lze šestičlennou skupinu za těchto podmínek sestavit?
A) 16 B) 20 C) 40 D) 180 E) jiným počtem
[C]
12) V sérii 12 výrobků jsou 3 vadné. Kolika způsoby lze z nich vybrat 6 výrobků, z nichž právě 2
jsou vadné? [378]
13) a) Z kolika prvků lze vytvořit 600 variací druhé třídy bez opakování? [25]
b) Kolik prvků dává 55 kombinací 2. třídy bez opakování? [11]
14) a) Upravte a určete podmínky pro n:
     !1
1
!2
6
!3
92






nnn
n
[
 
1;,
!2
1


nZn
n
]
b) Řešte v Z:
 
 
 
 
805
!5
!4
!4
!6






n
n
n
n
n
n
[5]
15) Řešte rovnici a nerovnici:
a) 9
4
2
3
1
















n
n
n
n
b) 




 





 






2
6
2
3
2
nnn
 72 [a) {5}, b) {8, 9}]
Rozšiřující cvičení
16) V novinovém stánku lze koupit 10 druhů pohledů, přičemž každý druh je k dispozici v 50
exemplářích. Určete, kolika způsoby lze zakoupit:
a) 15 pohledů b) 51 pohledů c) 8 různých pohledů
[1 307 504; K´(51, 10) - 10; 45]