32. Posloupnosti a jejich užití
Teoretická část
 Definice posloupnosti, způsoby zadání a vlastnosti posloupností.
 Aritmetická a geometrická posloupnost - vlastnosti, vzorce.
 Užití posloupností ve slovních úlohách, úlohy z finanční matematiky.
Praktická část
Základní poznatky:
1) Je dána posloupnost: ...;
4
1
;
3
1
;
2
1
;1 Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen a rekurentně.
[ Nn
n
an  ;
1
; Nn
n
n
aaa nn 

  ;
1
;1 11 ]
2) Posloupnost je zadána rekurentně:
 
)2(
1
;
2
1
2
11


 
nn
n
aaa nn . Určete několik jejích členů a
zadejte ji vzorcem pro n-tý člen. [ ...;
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
1

n
n
an ]
3) a) První člen aritmetické posloupnosti je 2 a diference 3. Určete prvních pět členů
posloupnosti, člen sedmdesátý a součet prvních 70 členů.
[2; 5; 8; 11; 14, 209, 7385]
b) První člen geometrické posloupnosti je 2 a kvocient 3. Určete prvních pět členů
posloupnosti, člen desátý a součet prvních 10 členů.
[2; 6; 18; 54; 162, 39366, 59048]
Typové příklady standardní náročnosti
4) a) Dokažte, že je posloupnost z příkladu 1) klesající.
b) Dokažte, že je posloupnost z příkladu 2) omezená.
5) MA Jaro 2016 V aritmetické posloupnosti platí: 𝑎 𝑛 =
5−10𝑛
0,4
, n ∈ 𝑁. Jaká je diference
posloupnosti? a) 12,5 b) -5 c) 5 d) -12,5 e) -25 [e]
6) MA Podzim 2016 Je dáno pět po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti: 4, x, y, z, -8.
Která hodnota vyjadřuje součet x+y+z ?
a) -2 b) -3 c) -4 d) -6 e) žádná z uvedených [d]
7) V geometrické posloupnosti je člen 33 a a 325 a . Určete tuto posloupnost.
[ 2;
2
3
1  qa nebo 2;
2
3
1  qa ]
8) a) V aritmetické posloupnosti je součet třetího a sedmého členu 46 a podíl druhého a
šestého členu
7
2
. Určete tuto posloupnost. [a1 = 3, d = 5]
b) Geometrická posloupnost má 4 členy. Součet krajních je 56, součet vnitřních je 24.
Určete tuto posloupnost. [a1= 2, q = 3 nebo a1 = 54, q = 1/3]
9) MA + 2017 Posloupnost obsahuje n po sobě jdoucích celých čísel a1, a2, …, an, z nichž
nejmenší je a1. Platí: a1 + a2 + … + an = n, kde n ∈ 𝑁.
1) Pro n = 15 vypočtěte a1.
2) Určete n, jestliže a1 = -20.
3) Vyjádřete a1 v závislosti na n a uveďte množinu všech n, pro něž daná posloupnost existuje.
[-6, 43, 𝑎1 =
3−𝑛
2
, 𝑛 𝑗𝑒 𝑙𝑖𝑐ℎé]
10) Roční objem výroby podniku je 50 milionů Kč. Jaký roční objem výroby lze očekávat za 5 let při
10% přírůstku ročně? [80,53 milionů]
11) Kolik skleněných desek pohlcujících 5 % světla musíme dát na sebe, aby intenzita světla klesla
na polovinu? [14]
12) Osmnáctiletý kuřák utratí za cigarety ročně 17 700 Kč, což odpovídá 10 cigaretám za den, při
ceně 97 Kč za krabičku cigaret.
a) Částku 17 700 Kč uloží začátkem roku 2018 na termínovaný účet s roční úrokovou mírou 3
procenta. Daň z úroku je 15 procent. Kolik bude mít naspořeno na konci roku 2068?
b) Částku 17 700 Kč uloží začátkem roku 2018 na termínovaný účet s roční úrokovou mírou 3
procenta, přičemž stejnou částku bude ukládat vždy na každého úrokovacího období. Daň
z úroku je 15 procent. Kolik bude mít naspořeno na konci roku 2068?
[63 928 Kč, 1 876 797 Kč]
Rozšiřující cvičení
13) Pan Starý má půjčku 300 000 Kč na roční úrok 4 %. Jak velká musí být každoroční splátka dluhu
koncem roku, chce-li pan Starý splatit dluh za 5 let? [67 388 Kč]