33. Limita posloupnosti, nekonečné řady
Teoretická část
 Limita posloupnosti - definice, věty o limitách, konvergentní a divergentní posloupnosti
 Nekonečná řada – definice, součet nekonečné řady (limita posloupnosti částečných součtů, součet
nekonečné konvergentní geometrické řády)
Praktická část
Základní poznatky:
1. Napište definici limity dané posloupnosti a dokažte tvrzení: lim
𝑛→∞
2
𝑛
= 0.
2. Vypočítejte: a) lim
𝑛→∞
2𝑛2+3𝑛
𝑛3−2𝑛
b) lim
𝑛→∞
𝜋
2 𝑛
[0; 0]
3. Rozhodněte, kdy je aritmetická posloupnost a1 a d; divergentní.
[𝑑 ≠ 0]
4. Rozhodněte, kdy je geometrická posloupnost a1 a q; konvergentní.
[|𝑞| < 1 nebo 𝑞 = 1]
Typové příklady standardní náročnosti:
5. Vypočítejte: a) lim
𝑛→∞
(𝑛+2)(𝑛−3)
(2𝑛+1)2
b) lim
𝑛→∞
2 𝑛+1
2 𝑛+3
[1/4; 2]
6. Dané neryze periodické číslo převeďte na zlomek 8423,0a






132
31
7. Spirála se skládá z půlkružnic. Poloměr každé následující je roven 2/3 poloměru půlkružnice
předcházející. Určete délku spirály, je-li poloměr první půlkružnice r.
8. Řešte v ℝ:
5
6
...
842
1 32


xxxx
[𝐾 = {−3; 4}]
9. Rozhodněte o konvergenci řady a vypočítejte ∑
1
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1
[řada není geometrická, součet je 1]
10. Prověřte konvergenci dané řady a určete její součet.
...
3
22
3
32
23   )23(3 
11. Vypočítejtepro 𝑥 ∈ ℝ: ∑ −(−2)−𝑛+1
𝑥 𝑛∞
𝑛=1 =
4
3
𝑥 [𝐾 = {0}]
 r3
Rozšiřující cvičení:
12. Vypočtěte:
a)
 
 


 nnn
n
n
nn
n 2.3.
4,0.3
lim 2
3
 1
b)
 
   




 n
n
n n
n
32.23
21.
lim 



6
1
13. Státní maturita 2017 - Matematika+
[S = 2025 mm2]
14. Státní maturita 2016 - Matematika+
Řešení: