36. Neurčitý a určitý integrál
Teoretická část
• Definice neurčitého integrálu (primitivní funkce).
• Věty používané při výpočtu neurčitého integrálu.
• Základní integrační metody:
− přímá metoda
− užitím vlastností neurčitého integrálu
− metoda per partes
− substituční metoda
• Určitý integrál a jeho význam, metody výpočtu určitého integrálu
− Newton - Leibnitzova formule
− substituční metoda u určitého integrálu
− metoda per partes u určitého integrálu
• Aplikace určitého integrálu pro výpočty obsahu plochy mezi křivkami a objemů rotačních těles.
Praktická část
Základní poznatky
1. Vypočítejte
a) ∫(𝑥3
− 6𝑥 + 7) 𝑑𝑥 [
𝑥4
4
− 3𝑥2
+ 7𝑥 + 𝑐]
b) ∫ ( 𝑥3
− 6𝑥 + 7) 𝑑𝑥
2
0
[6]
2. Vypočítejte
a) ∫
𝑥3−1
𝑥−1
𝑑𝑥 [
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝑐]
b) ∫
(√ 𝑥5+2)
2
𝑥
𝑑𝑥 [
𝑥5
5
+
8
5
∙ 𝑥
5
2 + 4 ln 𝑥 + 𝑐]
c) ∫(3 ∙ 2 𝑥
− 5 sin 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 [
3∙2 𝑥
ln 2
+ 5 cos 𝑥 + 𝑥 + 𝑐]
3. K dané funkci 𝑓: 𝑦 = 3𝑥2
− 3𝑥 + 11 určete primitivní funkci 𝐹 tak, aby její graf procházel
bodem 𝐴[2; 3]. [𝐹: 𝑦 = 𝑥3
−
3
2
𝑥2
+ 11𝑥 − 21]
Typové příklady standardní náročnosti
Vypočítejte neurčité integrály
4. Vypočítejte
a) ∫ 𝑥√𝑥2 + 2 𝑑𝑥 [
√(𝑥2+2)3
3
+ 𝑐]
b) ∫ 𝑥√𝑥2 + 2
2
1
𝑑𝑥 [√3 (2√2 − 1)]
5. Vypočítejte
a) ∫ 2𝑥 sin( 𝑥2
+ 1) 𝑑𝑥 [−cos(𝑥2
+ 1) + 𝑐]
b) ∫ 𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 [
𝑥 sin 3𝑥
3
+
1
9
cos 3𝑥 + 𝑐]
6. Vypočítejte
a) ∫ 𝑥 𝑒−𝑥2
𝑑𝑥 [−
1
2
𝑒−𝑥2
+ 𝑐]
b) ∫ 𝑥 𝑒−𝑥21
0
𝑑𝑥 [
𝑒−1
2𝑒
]
7. Vypočítejte
a) ∫ 𝑥4
ln 𝑥 𝑑𝑥 [
𝑥5
5
(ln 𝑥 −
1
5
) + 𝑐]
b) ∫ 𝑥4
ln 𝑥
2
1
𝑑𝑥 [≐ 3,20]
8. Určete obsah útvaru ohraničeného křivkami 𝑘1: 𝑦 = 𝑥2
a 𝑘2: 𝑦 = 2 − 𝑥. [𝑆 =
9
2
𝑗2]
9. Vypočtěte objem komolého rotačního kužele o rozměrech 𝑟1 = 5 𝑐𝑚, 𝑟2 = 2 𝑐𝑚, 𝑣 = 4 𝑐𝑚.
[ 𝑉 = 52𝜋 𝑐𝑚3]
10.Užitím integrálního počtu odvoďte vzorec pro objem a povrch
a) koule s poloměrem 𝑟,
b) rotačního kužele o výšce 𝑣 a poloměrem podstavy 𝑟,
c) válce o výšce 𝑣 a poloměrem podstavy 𝑟.