38.   Vektorová algebra
Teoretická část
• Pojmy: vektor, umístění vektoru, velikost vektoru, lineární kombinace vektoru, lineárně závislé vektory.
• Operace s vektory: sčítání a odčítání vektoru, násobení reálným číslem, skalární součin vektorů, vektorový součin vektorů.
• Užití skalárního a vektorového součinu, smíšený součin vektorů.
Praktická část
Základní poznatky
1. Je dána krychle ABCDEFGH a střed S její stěny ADHE. Platí: u = B - A, v = D - A, t = E — A. Pomocí těchto vektorů vyjádřete vektor s = S — C
a) skládáním vektorů
b) souřadnicovou metodou. = 2 — ™ ~ 2]
2. Znázorněte umístění vektoru c = 2a + - b, jestliže a = AB, b = AC, kde ABCD je čtverec.
(Státní maturita květen 2017)
Ve čtverci ABCD platí: A[-l; 1], AC = (6; 4).
a) V kartézské soustavě souřadnic sestrojte čtverec AB CD.
b) Zapište souřadnice středu S čtverce ABCD.
c) Vypočtěte velikost vektoru AB.
[[2; 3],V26]
													
													
													
													
							1						
							1						
						0	1						
													
													
													
													
4.  Určete vektor Ů kolmý k vektoru v = (3; 4) o velikosti 15.
[(12; -9), (-12; 9)]
Typové příklady standardní náročnosti
5. Zjistěte, zda je vektor Ů lineární kombinací vektorů a a b:
a) Ů = (-2; 4; -6), a = (1; 3; -2), b = (2; 1; 1)
b) Ů = (1; 1; 2), a = (-1; 0; 1), b = (2; 2; 3)
[Ano, u = 2a — 2ů] [JVe]
6. Užitím lineárních kombinací vektoru určete, zda leží body:
a) A[l; 2], B[—l; 3], C [5; 0] na stejné přímce
b) A[l; 2; -1], B[3; 0; 1], C[2; -1; 2], D[S; -6; 7] ve stejné rovině
[Ano] [Ano]
Jsou dány vektory a = (1; 3; 5), b = (—2; 0; 4). Určete:
a) souřadnice vektoru c = —a + b
b) souřadnice vektoru d = 2a + 3ů
c) velikost vektorů a a b
d) d-b [18]
e) dxů [(12;-16; 6)]
f) (p(d,b) [47°08']
8. Je dán trojúhelník RST: R[4; 1; 0], 5[4; -2; -3], T[l; -2; 0]. Vypočtěte
a) obvod, [9V2]
b) vnitřní úhly, [60°]
c) obsah RST. gVš]
9. Je dán rovnoběžnostěn ABCDA'B'C'D': A[2; 1; 2], 5[4; 2; 3], D[l; 5; 2], i4' [0; 1; 6]. Určete
a) souřadnice zbývajících vrcholů,
b) obsah dolní podstavy,
c) objem rovnoběžnostěnu [C[3; 6; 3], 7a/2; 44]
Rozšiřující cvičení
10. Určete souřadnice těžiště trojúhelníku MNQ: M[l;3], JV[0;4], Q[-l;4].
O správnosti výpočtu se přesvědčte graficky. [O;funguje ar. průměr
souřadnic b. A, B, C.