42. Kružnice, kulová plocha, kuželosečky
Teoretická část
 Kuželosečky a jejich druhy.
 Kružnice a její různá vyjádření - rovnice středová a obecná.
 Kruh, kulová plocha, koule.
 Tečna ke kružnici, tečná rovina kulové plochy.
 Tečna vedená bodem na kružnici
 Tečna vedená bodem vně kružnice
 Tečna rovnoběžná s danou přímkou.
 Tečna kolmá na danou přímku.
Praktická část
Základní poznatky:
1) Kružnice se středem S[2; 1] prochází bodem A[6;-2]. Určete je poloměr, středovou i obecnou
rovnici. [5, (x – 2)2 + (y - 1)2 = 25, x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0]
2) Kuželosečka je dána obecnou rovnicí:
a) x2 + y2 + 4x – 6y + 11 = 0 b) x2 + y2 – 4x – 2y + 15 = 0
Převodem na středový tvar ověřte, zda se jedná o kružnici, určete její střed a poloměr.
[a) S[-2;3], r = 2 b) nejde o kružnici]
3) Určete délku středné kružnic k1, k2:
k1: x2 + y2 - 6x - 4y - 25 = 0, k2: (x + 7)2 + (y - 5)2 = 49 [ 109 ]
4) MA + 2017 Jaro Je dán bod A[4; 1] a dvě kružnice:
k: (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 l: (x – 5)2 + (y - 3)2 = 9
10.1 Kolik společných bodů mají kružnice k a l? ____
10.2 Kolik společných tečen mají kružnice k a l? ____
10.3 Kolik tečen lze vést ke kružnici l z bodu A? ____
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 F) jiný výsledek
[B, D, A]
Typové příklady standardní náročnosti
5) Napište rovnici kružnice, která prochází body A[3;5], B[2;6] a má střed na přímce
2x + 3y – 4 = 0. [(x+1)2 + (y-2)2 = 25]
6) Napište rovnici kružnice, která prochází body E[3;2], F[1;4] a dotýká se osy x.
[(x-9)2 + (y-10)2 = 100; (x-1)2 + (y-2)2 = 4]
7) Určete rovnici kružnice opsané trojúhelníku ABC: A[2;1], B[3;0], C[0;5]
[(x – 9)2 + (y -7)2 = 85]
8) Je dána kružnice k: (x-3)2 + (y+12)2 = 100. Určete rovnice všech tečen, které procházejí bodem:
a) L[9;-4] b) M[5;2] c) N[4;-10]
[a) 3x+4y-11=0 b) -3x+4y+7=0, 4x+3y-26=0
c) tečna neexistuje, bod N leží uvnitř kružnice]
9) Napište rovnice tečen kružnice k: x2 + y2 - 8x – y + 5 = 0, které jsou rovnoběžné s přímkou
p: 2x – y + 2 = 0. [y = 2x; y = 2x-15]
10) Určete rovnice tečen kružnice k: x2 + y2 – x - 2y = 0, kolmých k přímce q: 2x – y + 6 = 0.
[
2
5
2
1
,
2
1
 xyxy ]
Rozšiřující cvičení
11) Určete střed a poloměr kulové plochy k: x2 + y2 + z2 - 4x + 6y – 13 = 0 a dále určete obsah
kružnice, kterou na této kulové ploše vytíná rovina x - 2y + 2z = 0.
[ 
9
170
;26];0;3;2[ S ]