43. Parabola
Teoretická část
 Parabola (definice, pojmy: ohnisko, řídící přímka, vrchol,…)
 Druhy parabol a jejich rovnice (vrcholová, obecná), grafy
 Vzájemná poloha bodu a paraboly, vzájemná poloha přímky a paraboly
 Tečny vedené k parabole
Praktická část
Základní poznatky:
1. a) Určete souřadnice vrcholu a ohniska a rovnici řídící přímky paraboly 𝑃: 𝑦2
− 4𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0.
b) Napište rovnici tečny k parabole (viz a)), která prochází jejím průsečíkem s osou x.
[𝑉[−2,3], 𝐹[−1,3], 𝑥 + 3 = 0, 𝑡: 4𝑥 + 6𝑦 − 1 = 0]
2. Určete rovnici paraboly P, která
a) má ohnisko F[4,-2] a řídící přímku d: y=4,
b) prochází body K[5,-2], L[7,3], M[1,-6] a má osu rovnoběžnou s osou y.
[(𝑥 − 4)2
= −12(𝑦 − 1); (𝑥 − 1)2
= 4(𝑦 + 6)]
Typové příklady standardní náročnosti
3. Určete souřadnice bodu, který leží na parabole 𝑃: 𝑦2
= 8𝑥 a má od jejího ohniska vzdálenost 20.
[L1[18,12], L2[18,-12]]
4. Určete průnik úsečky AB a paraboly P(F,d), je-li dáno: A [2,5], B[5,8], F[-1,3], d: y = 1.
[M[3,6]]
5. Je dána parabola 𝑃: − 4(𝑥 + 2) = (𝑦 − 5)2
a bod M [0,4]. Napište rovnice všech přímek, které mají
s parabolou právě jeden společný bod a procházejí bodem M.
[x-2y+8 = 0, x+y-4 = 0, y-4 = 0]
6. Určete rovnici tečny paraboly P: y2
-3x+y-2 = 0, která je rovnoběžná s přímkou p: x+y-1 = 0.
[y = -x-2]
7. Určete rovnici tečny paraboly P: y2
+4x-8 = 0 tak, aby její odchylka od osy x byla 45°.
[y = x-3 příp. y = -x+3]
Rozšiřující cvičení
8. Státní maturita Matematika+ 2016
Každý bod paraboly P má stejnou vzdálenost od bodu F[4, 2] a od souřadnicové osy x. Zapište rovnici
tečny t paraboly P v jejím vrcholu.
[T: y = 1]
9. Šikmý vrh je při vhodné volbě souřadnic popsán pomocí souřadnic takto:
𝑥 = 𝑣𝑡 cos ∝ a 𝑦 = 𝑣𝑡 sin ∝ −
1
2
𝑔𝑡2
.
a) Dokažte, že body z předpisu leží na parabole.
b) Najděte vrchol této paraboly.
[Realisticky. cz − 7.5.13, 𝑉 [
𝑣2 sin(2∝)
2𝑔
;
𝑣2 sin2(∝)
2𝑔
]]