44. Elipsa
Teoretická část
 Definice elipsy, pojmy střed elipsy, hlavní a vedlejší vrcholy, ohniska, velikost hlavní a vedlejší
poloosy, excentricita.
 Rovnice elipsy: středová i obecná.
 Tečny elipsy
 Vzájemná poloha bodu a elipsy, vzájemná poloha přímky a elipsy.
Praktická část
Základní poznatky
1. Zjistěte, zda rovnice 9𝑥2
+ 25𝑦2
– 54𝑥 – 100𝑦 = 44 je rovnicí elipsy. Pokud ano, určete
základní parametry a načrtněte ji v soustavě souřadnic.
[
𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑎, 𝑆[3;2], 𝑎 = 5, 𝑏 = 3, 𝑒 = 4, 𝑎 ∥ 𝑥,
𝐴[−2; 2], 𝐵[8; 2], 𝐶[3; −1], 𝐷[3; 5],
𝐹[−1;2], 𝐺[7; 2]
]
Typové příklady standardní náročnosti
2. Určete vzájemnou polohu přímky 𝑝: 2𝑥– 𝑦 + 4 = 0 a elipsy 𝐸: 2𝑥2
+ 3𝑦2
+ 6𝑥 + 4 = 0.
[ 𝑠𝑒č𝑛𝑎, 𝑃1: [−2; 0], 𝑃2: [−
13
7
;
2
7
] ]
3. Vypočtěte obsah obdélníka vepsaného do elipsy 𝐸:
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1 tak, že jeho dvě strany
procházejí ohnisky kolmo k ose. [ 𝑆 = 38,4 𝑗2
]
4. Dokažte, že bod 𝑄[0; −3] je vnějším bodem elipsy 𝐸: 5𝑥2
+ 9𝑦2
= 45 a napište rovnice tečen
elipsy, které procházejí bodem 𝑄. [ 𝑡1:2𝑥 − 3𝑦 − 9 = 0, 𝑡2: 2𝑥 + 3𝑦 + 9 = 0]
5. Určete rovnice tečen elipsy 𝐸: 9𝑥2
+ 16𝑦2
= 144, které mají směrnici 1.
[ 𝑡1: 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0, 𝑡2: 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0]
6. Určete rovnice tečen elipsy 𝐸: 𝑥2
+ 4𝑦2
= 4, která je kolmá k přímce 𝑞: 3𝑥 + 2𝑦 = 0.
[ 𝑡1,2: 𝑦 =
2
3
𝑥 ±
5
3
]
7. (Státní maturita M+ 2017)
Na polopřímce 𝐸𝐹 leží body
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝑋, 𝑌 a mimo ni bod 𝑀.
Uvažujme elipsu s ohnisky 𝐸, 𝐹, která
prochází bodem 𝑀. Kde se nachází
průsečík elipsy a polopřímky 𝐸𝑌?
Doporučení: Řešte v obrázku
konstrukčně. Na úsečce 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝑋 nebo na polopřímce 𝑋𝑌? [𝑛𝑎 𝐵𝐶]
Rozšiřující cvičení
8. Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed 𝑆[2; 1], hlavní poloosa je
dvakrát delší než vedlejší poloosa a elipsa prochází počátkem soustavy souřadnic.
[𝐸:
(𝑥−2)2
8
+
(𝑦−1)2
2
= 1]
Poznámka
Pro případné zadání rovnic do Wolframalpha.com a podobných programů použijte v příkazovém řádku
následující syntaxi:
 E: 9x^2+25y^2-54x-100y=44
 p_1: 2x-y+4=0