22.B Exponenciální a logaritmická funkce
Exponenciální funkce
1) Definice:
Nechť a ∈ R+
- {1}. Funkce f: y = ax
se nazývá exponenciální funkce se základem a.
2) Vlastnosti:
a) pro a > 1
• D (f) = R
• H (f) = R+
• Je rostoucí, a tedy prostá
• f (0) =1
• f je spojitá v R
• Je zdola omezená (ax
> 0), není shora
omezená
• Nemá ani maximum, ani minimum
• Osa x je asymptotou grafu f
Logaritmická funkce
Logaritmus je exponent, na který musíme umocnit
základ, abychom dostali dané číslo. Tedy:
Je-li 32
= 9 , pak log39 = 2
1) Definice:
Nechť f: y = ax
je exponenciální funkce se
základem a∈ R+
- {1}. Funkce g, inverzní
k funkci f, se nazývá logaritmická funkce se
základem a. Označujeme ji g: y = log a x
b) pro 0 < a < 1
• D (f) = R
• H (f) = R+
• Je klesající, a tedy prostá
• f (0) =1
• f je spojitá v R
• Je zdola omezená (ax
> 0), není shora
omezená
• Nemá ani maximum, ani minimum
• Osa x je asymptotou grafu f
Pro a = 10 nazýváme hodnotu funkce
dekadický neboli Briggsův logaritmus, pro
a = e přirozený logaritmus ( e ≈ 2,718 je
Eulerova konstanta).
2) Vlastnosti:
a) pro a > 1 ( funkce g má zelený graf )
• D (g) = R+
• H (g) = R
• Je rostoucí, a tedy prostá
• Není ani zdola omezená, ani shora
omezená
• Nemá ani maximum, ani minimum
• Osa y je asymptotou grafu
3) Pravidla pro počítání s logaritmy:
xyxa a
y
log=⇔=
Pro každé a, b, c ∈ R+
-{1}, pro každé x1, x2 є R+
a pro každé r,n,y∈R platí:
1) ( ) 2121 loglog.log xxxx aaa +=
2) 21
2
1
logloglog xx
x
x
aaa −=
3) xrx a
r
a log.log =
4) x
n
x a
n
a log.
1
log =
5)
b
a
a
c
c
b
log
log
log =
b) pro 0 < a < 1 (funkce g má zelený graf )
• D (g) = R+
• H (g) = R
• Je klesající, a tedy prostá
• Není ani zdola omezená, ani shora
omezená
• Nemá ani maximum, ani minimum
• Osa y je asymptotou grafu