23.B Exponenciální a logaritmické rovnice
Exponenciální rovnice
• obsahuje neznámou v exponentu některé mocniny
• základní tvar: af(x)
= bg(x)
, a > 0, b > 0, x∈R
• řešení: a) Je-li a = b ≠ 1, pak f(x) = g(x) (rovnají-li se základy mocnin, rovnají se i
exponenty)
b) Je-li a ≠ b, použijeme logaritmování: f(x).log a = g(x).log b
Pozn.: Složitější exp. rovnice se řeší převedením na základní tvar, popřípadě na
algebraickou rovnici (s častým použitím substituce ax
= y (a > 0, a ≠ 1)).
Logaritmická rovnice
• obsahuje logaritmy výrazů s neznámou x∈R
• nejjednodušší tvar: log a x = b, a > 0, a ≠ 1, b∈R ( její řešení podle definice logaritmu
je x = ab
)
• řešení na základě věty: Jestliže log a f(x) = log a g(x), kde a > 0, a ≠ 1, pak f(x) = g(x)
(rovnají-li se logaritmy dvou čísel o stejném základu, rovnají se i tato čísla)
Pozn.:1) Platnost předchozí věty je podmíněna splněním podmínek f(x) > 0 a g(x) > 0.
Pokud je nestanovíme předem, zkouška je nutnou součástí řešení.
2) Složitější log. rovnice - řešení často usnadňuje vhodná substituce
(např. y = log a x (a > 0, a ≠ 1)) a převod rovnice z log. na algebraickou.
• Věty o logaritmech: Nechť a > 0, a ≠ 1, x1 > 0, x2 > 0, r∈ R, n ∈ R
1) ( ) 2121 loglog.log xxxx aaa +=
2) 21
2
1
logloglog xx
x
x
aaa −=
3) xrx a
r
a log.log =
4) x
n
x a
n
a log.
1
log =
5)
b
a
a
c
c
b
log
log
log = , kde a > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1
Pozn.: Velký význam věty 5! - Umožňuje převod logaritmu při jednom
základu na logaritmus při jiném základu! (Při řešení log. rovnic je často třeba
dosáhnout toho, aby všechny logaritmy v rovnici měly stejný základ!)