33.B Limita posloupnosti, nekonečné řady
Posloupnost ( )∞
=1nna má vlastní limitu a∈R právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje n0 ∈N tak, že
pro všechna 0nn≥ platí: aan − < ε. Píšeme pak: aan
n
=
∞→
lim .
Tudíž: ( ) ( )εε 〈−≥∀∈∃〉∀⇔=
∞→
aannNnaa nn
n
:)0(lim 00
Posloupnost, jejíž limitou je reálné číslo a, se nazývá konvergentní. (Říkáme také, že
posloupnost konverguje k číslu a.)
Posloupnost, která nemá limitu nebo jejíž limita je rovna ±∞, se nazývá divergentní.
Každá posloupnost může mít nejvýše jednu limitu.
Pozn.: a) Každá konstantní posloupnost ( )∞
=1nna = ( )∞
=1nc je konvergentní a cc
n
=
∞→
lim .
b) Každá neklesající shora omezená posloupnost je konvergentní.
Každá nerostoucí zdola omezená posloupnost je konvergentní.
c) Každá konvergentní posloupnost je shora i zdola omezená.
!!Obrácená věta neplatí … viz např. posloupnost ( ) ( )n
nna 11
−=
∞
=
!!
Věty o limitách
Nechť ( )∞
=1nna a ( )∞
=1nnb jsou konvergentní posloupnosti s limitami aan
n
=
∞→
lim , bbn
n
=
∞→
lim , kde a, b∈R.
Nechť je dána konstanta c∈R.
Pak platí: 1. Posloupnosti ( )∞
=
± 1nnn ba , ( )∞
=1
. nnn ba , 0
1
≠





∞
=
bpro
b
a
nn
n
a ( )∞
=1
. nnac jsou rovněž
konvergentní.
2. Limity uvedených posloupností se určí takto:
• bababa n
n
n
n
nn
n
±=±=±
∞→∞→∞→
limlim)(lim
• bababa n
n
n
n
nn
n
.lim.lim).(lim ==
∞→∞→∞→
• 0
lim
lim
lim ≠==
∞→
∞→
∞→
bpro
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n
n
n
n
• acacac n
n
n
n
.lim.).(lim ==
∞→∞→
Pozn.: 1) cc
n
=
∞→
lim 2) 0
1
lim =
∞→ nn
Nekonečné řady
Nekonečná řada vznikne z nekonečné posloupnosti vložením znamének + mezi všechny členy
posloupnosti.
Tedy: Nekonečná posloupnost ….. ( ) ( ),......,,,, 3211 nnn aaaaa =
∞
=
Nekonečná řada …………… ∑
∞
=1n
na = a1 + a2 + a3 + … + an + …
Nabízí se otázka, zda a za jakých podmínek má smysl uvažovat o součtu nekonečné řady.
Vytvořme (pro danou nekonečnou řadu) tzv. posloupnost částečných součtů ( )∞
=1nns = (s1, s2,…, sn, …):
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
…….
sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …. + an
………
Pokud existuje vlastní limita s této posloupnosti částečných součtů při n →∞ , tedy pokud ssn
n
=
∞→
lim ,
pak říkáme, že je nekonečná řada ∑
∞
=1n
na konvergentní, píšeme ∑
∞
=1n
na = s.
Je-li navíc nekonečná řada geometrická, tedy ∑∑
∞
=
−
∞
=
=
1
1
1
1
.
n
n
n
n qaa , pak je konvergentní právě tehdy, když
platí: q < 1. Pak se součet této řady vypočítá podle jednoduchého vzorce
q
a
s
−
=
1
1
.
q
a
q
a
q
qa
q
q
as
n
n
n
n
n −
=
−
−
−
=
−
−
=
∞→∞→∞→ 11
lim
1
.
lim
1
1
.lim 111
1
konverguje,
a to k nule,
pouze pro
q < 1