35.B Derivace funkce a její užití
Derivace funkce představuje jeden ze základních pojmů diferenciálního počtu. Byl vytvořen ve druhé polovině 17. století při řešení konkrétních fyzikálních a geometrických problémů.
Geometrický význam derivace funkce v daném bodě xo je směrnice tečny ke grafu funkce
v tomto
Obrázek lze využít k vysvětlení způsobu určení směrnice tečny grafu funkce/(tedy způsobu určení derivace funkce/).
Na obrázku:
> část grafu funkcefTT v = f(x) I
> sečna s = <^>TS se směrovým úhlem (p
> tečna t se směrovým úhlem a vedená ke grafu funkce/bodem T.
Je zřejmé, že směrnici ks sečny s určíme z pravoúhlého trojúhelníku STQ takto:
,    , m   4y f{x0+Ax)-f{x0)
h = tg(p =—=---
Ax Ax
Ze sečny se stane tečna v okamžiku, kdy bod S přejde po části grafu funkce/do bodu T. Pohyb bodu S do T a přechod sečny do tečny jsou na obrázku naznačeny červenými šipkami. přitom se zároveň zmenšují rozměry ASTQ (např. Ax —> 0).
Směrnice tečny:       kt = lim ks = lim f ^°+ ^ f ^° ^
a^^o_Ax_
Směrnicová rovnice tečny t je pak       t: y = ktx + q
Derivace funkce/v bodě xo je tedy
f(xo)
lim
Ax^O
f{x0 + Ax)-f{x0)
Ax
(čteme: limita podílu
přírůstku funkční hodnoty a přírůstku argumentu za předpokladu, ze se přírůstek argumentu blíží k nule).
Derivace funkce v intervalu: Má-li funkce/: y =f(x) v každém bodě x jisté množiny M derivaci / '(x), pak funkci/': y =f'(x) nazýváme derivací funkce/na množině M.
Derivace některých elementárních funkcí:
funkce
její derivace v bodě x
x z intervalu
n
y = x,
y = n.x
y = x
ke Z
y = k.x
(--;0)U(0;oo)
y = xr,    re R
y = r.x
(0;°o)
y = c
y = 0
y = sin x
y = cos x
y = cos x
y = - sin x
y = tgx
COS X
--+ k7t;— + kx
v  2        2 ,
v = cotg jc
sin x
{kx;{k + ,keZ
y = e
y = e
y = a , a > 0, 1
y = a .In a
y = ln x
1
X
(O;-)
y = loga x, a > 0, a ^ 1
y=
1
jc.lna
(O;-)
Základní pravidla pro derivování:
1. (f±g) '(x) = / '(x) ± g '(x) ... derivace součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) derivací
2. (cf) '(x) = C. f '(x) ...... konstanta se „vynáší" před znak derivace
3. (fg) \x) = f \x) .g(x)+ f(x). g \x) ..... (uv)' = u 'v + uv'
í f\
f
(*)=
\5 J
f'(x).g(x)-f(x).g'(x) g2(x)
u .v-u.v
5.  derivace složené funkce:      \f(g(x))]' = f '(g(x)). g '(x)
Souvislost derivace funkce a některých základních vlastností funkce:
(stále je třeba si uvědomovat, že derivace funkce je vlastně směrnice tečny grafu funkce!!!)
□ Spojitost funkce:      Má-li funkce/v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Obrácená věta ale neplatí! Funkce může být v bodě a spojitá a nemusí tam mít derivaci, (viznapř. Pn,Pi2, Pb)
□ Monotónnost funkce: Má-li funkce/v bodě a kladnou (zápornou) první derivaci, pak je v tomto bodě rostoucí (klesající), (viz např. Pi, P5, Pô, P10, (P3, P7, P9)).
Obrácená věta ale neplatí! Funkce může být v bodě a rostoucí (klesající) a derivace v bodě a se může rovnat nule (viz. např. Pg) nebo dokonce vůbec nemusí existovat, (viz např., P11, Pi2,Pi3)
□ Extrémy funkce:      Funkce/může (ale nemusí!!) mít v bodě a lokální extrém pouze tehdy, když/'(a) = 0 (pak a je stacionární bod) (viz např. P2, P4) nebo když derivace
v bodě a neexistuje (viz např. P12, P13). Uvedené podmínky pro existenci extrému v bodě a jsou nutné, nikoliv však postačující. Tozn., že podmínka může být splněna a funkce v bodě a přesto extrém nemá (viz např. P§, Pn).
□  Konvexnost a konkávnost funkce:   Má-li funkce/v bodě a druhou derivaci f"{a) > 0, pak je funkce v bodě a konvexní (dutá). Je-li f"{a) < 0, pak je funkce v bodě a
konkávni (vypuklá). Body, ve kterých f "(a) = 0 a ve kterých se zároveň mění konvexní charakter funkce na konkávni či naopak, jsou inflexní body.
1. D(f), sudost, lichost, periodičnost, průsečíky s osami, intervaly kladných a záporných
funkčních hodnot
2. Chování funkce fy nevlastních bodech (určení lim f{x), lim f{x)),
určení asymptot (pokud existují)
- bez směrnice...... asymptota cib bez směrnice může existovat pouze v bodě
nespojitosti b, a to tehdy, jestliže alespoň jedna
z jednostranných limit v b je nevlastní. Pak     x = b.
f(x)
- se směrnicí ....... as: y = k.x + q, kde k- lim —— , q- lim (f(x)—kx)
3. Určení intervalů monotónnosti a extrémů funkce
4. Určení intervalů konvexnosti a konkávnosti a inflexních bodů funkce
5. Graf funkce
Derivace funkce zadané implicitně:
Funkce může být zadaná - explicitně (přímo, tedy rovnicí/- y = fix))
- implicitně (nepřímo, zastřeně, zprostředkovaně) - např. pomocí analytického vyjádření křivky F(x, y) = 0, která sama nemusí být grafem funkce, ale může představovat sjednocení grafů několika funkcí fi (viz např. kuželosečky). Derivování implicitní funkce:
x ... známým způsobem
y ... jako složenou funkci závisící na x
( např.: (y3+x2+7) = 3y2. y'+ 2x )
Fyzikální význam derivace:
Jednou z nejdůležitějších oblastí použití derivace ve fyzice je derivace podle časové proměnné vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase.
Např. rychlost je derivace dráhy podle času
zrychlení je derivace rychlosti podle času