38.B Vektorová algebra
Kartézská soustava souřadnic      - osy jsou vzájemně kolmé přímky
- počátek je průsečík souřadných os
- jednotky na osách se volí zpravidla stejně velké □   Jednorozměrná soustava souřadnic_
Souřadnice bodu, délka úsečky, souřadnice středu úsečky
P[0]
A[xA]    S[xs] B[xB]
-^j(XB ~xa)     '■> $
xa ~*~ XB
□   Dvojrozměrná soustava souřadnic_
Souřadnice bodu, délka úsečky, souřadnice středu úsečky
y/
B[xB,yB]
P[0,0]
\AB\ =<J{xB-xA)2+{yB-yA)2 ; S
□   Trojrozměrná soustava souřadnic_
Souřadnice bodu, délka úsečky, souřadnice středu úsečky
c	XA + XB	yA+yB
	2	'    2 J
Orientovaná úsečka - úsečka AB , jejíž krajní body mají určené pořadí (A - počáteční bod, B - koncový bod).
Velikost orientované úsečky AB .... \ AB \ = \AB\
Vektor v - množina všech souhlasně orientovaných úseček stejné velikosti (pozn. úplný název... volný vektor).
Umístění vektoru v (do bodu A) - každá orientovaná úsečka AB , která je prvkem vektoru v .
Pozn. 1:        Místo (přesného) AB e v budeme psát (z důvodu zjednodušení) AB = v . Pozn. 2:        Operace a vztahy mezi vektory budeme provádět prostřednictvím jejich umístění.
Souřadnice vektoru v :
Pozn.: Vektor v rovině má dvě souřadnice, vektor v prostoru tři souřadnice. Pojmy, vztahy a operace jsou následně uvedeny pro vektory v rovině. Pro práci s vektory v prostoru se jen doplní třetí souřadnice a upraví vzorce..
Nechť jsou dány body A[xa, yA] , B[xB, yB]-Nechť v = AB = B - A. Pak
v = (vi; v2) = (xB-xA; yB - yA)
Velikost vektoru v (vi; v2) je číslo
2 2 + vn
Odchylka vektorů u, v je menší (nebo rovný) z úhlů určených umístěním vektorů do společného počátečního bodu ... (p:
Odchylka vektorů u , v se nedefinuje, pokud alespoň jeden z nich je nulový.
Lineární kombinací vektorů v1,v2,...,v„ je vektore, pro nějž platí:
kde al,a2,...,an jsou reálná čísla.
w = ai.vi+a2.v2+... + an.vn
Vztahy mezi vektory:
• Rovnost vektorů: Vektory se vzájemně rovnají, mají-li stejnou velikost a souhlasnou orientaci.
• Lineární závislost vektorů: Vektory vl,v2,...,vn jsou lineárně závislé, jestliže libovolný
z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. V opačném případě jsou tyto vektory lineárně nezávislé.
• Kolineárnost vektorů: Vektory jsou kolineární, jsou-li rovnoběžné (příp. leží na téže přímce).
•   Komplanárnost vektorů: Vektory jsou komplanární, leží-li v jedné rovině.
Operace s vektory:
□  Násobení vektoru reálným číslem:
a) numericky a = (aj;a2),   k e R
b) graficky
k .u = (kul;ku2)
□   Skalární součin:   Skalárním součinem nenulových vektorů ú, v je číslo u.v , které lze vypočítat
dvěma způsoby:
u.v=ulvl +u2v2					
u.v =	u		v	.coscp	
.cos (p , kde (p je odchylka vektorů u , v .
Skutečnost, že skalární součin lze vypočítat dvěma způsoby, umožňuje určit odchylku vektorů c0( u , v) = f '•
cos (p-
u .v ulvl+u2v2
\u\.\v
\u\.\v
Pozn.l: Je-li alespoň jeden z vektorů u , v nulový, pak a .v = 0.
Pozn.2: Jsou-li oba vektory u , v nenulové, pak a .v = 0 právě tehdy, když u _L v .
□   Vektorový součin:   Vektorovým součinem nenulových vektoru u , v je vektor w = u x v
(ju krát v), pro který platí:
D
.sin <p
kde (p je odchylka vektoru ú, v .
2)      Orientace vektoru w se určuje pravidlem pravé ruky a platí: \w±ú awív
Pozn,: Je-li alespoň jeden z vektoru u, v nulový, pak uxv-0.
Užití vektorového součinu:
o   Výpočet obsahu rovnoběžníku
S,
7abcd -
a xb
o   Výpočet objemu rovnoběžnostěnu:
kde
Vq|abcda"b'C'd'= (axb). {a x b ).c je smíšený součin vektoru
Pozn.l: Objem čtyřbokého jehlanu ABCDA' vepsaného do rovnoběžnostěnu je
V = — . VgABCDA'B'C'D^ —
3 3
[axb ).í
Pozn,2: Objem čtyřstěnu ABDA' vepsaného do rovnoběžnostěnu je
[axb ).(
V - — . VgABCDA'B'C'D'- —
6 6