39.B Analytická geometrie lineárních útvarů
1) Přímka v rovině
• Parametrická rovnice: :p utAX
r
.+= , Rt ∈
x = a1 + tu1
y = a2 + tu2, Rt ∈
A[a1, a2]∈p …konkrétní (daný) bod na přímce p
X[x, y] …. libovolný bod na přímce p
= (u1, u2) … směrový vektor přímky p
t - parametr
Parametrická rovnice přímky je ideální také pro analytické vyjádření částí
přímky (úsečka, polopřímka,..) - realizuje se jednoduše omezením parametru
• Obecná rovnice: p: ax + by + c = 0, kde [a, b] ≠ [0, 0]
pozn. 1) = (a, b) … normálový vektor p …. ⊥ p
= (-b, a) ... směrový vektor p
2) hax + hby + hc = 0 , kde h ≠ 0, Rh ∈ je rovněž
obecná rovnice přímky p
• Směrnicová rovnice: p: y = kx + q,
k = tg φ - směrnice , φ - směrový úhel
Směrnicová rovnice existuje pouze u přímek, které nejsou rovnoběžné s osou y.
• Úseková rovnice: p: 1=+
q
y
p
x
- p,q jsou úseky vyťaté přímkou p na osách souřadnic,
- [p;0], [0;q] jsou průsečíky přímky p s osami souřadnic
Úseková rovnice existuje pouze u přímek, které nejsou rovnoběžné s žádnou
osou souřadnic a které neprocházejí počátkem soustavy souřadnic.
2) Přímka v prostoru
• má pouze parametrickou rovnici :p utAX
r
.+= , Rt ∈
x = a1 + tu1
y = a2 + tu2
z = a3 + tu3 , Rt ∈
A[a1, a2, a3]∈p …konkrétní bod na přímce p
X[x, y, z] …. libovolný bod na přímce p
= (u1, u2, u3 ) … směrový vektor přímky p
t - parametr
3) Rovina
• Parametrická rovnice ρ: vrutAX
rr
.. ++= , RrRt ∈∈ ,
x = a1 + tu1 + rv1
y = a2 + tu2 + rv2
z = a3 + tu3 + rv3 , RrRt ∈∈ ,
A[a1, a2, a3]∈ρ …. konkrétní bod v rovině ρ
X[x, y, z] …. libovolný bod v rovině ρ
= (u1, u2, u3), = (v1, v2, v3) … nekolineární vektory určující rovinu ρ
t, r - parametry
• Obecná rovnice ρ: ax + by + cz + d = 0, [a, b, c] ≠ [0, 0, 0]
Pozn. 1) = (a, b, c) … normálový vektor ρ … ⊥ ρ
2) hax + hby + hcz + hd = 0 , kde h ≠ 0, h∈R je rovněž obecná
rovnice roviny ρ