44.B Elipsa
ELIPSA E(F,G, 2a) je množina všech bodů X roviny ρ, jejichž součet vzdáleností od dvou
daných bodů F, G (tzv. ohnisek) je konstantní a rovná se 2a, kde 2a je větší než vzdálenost
bodů F, G.
Tedy ( ) { ,2;2,, aXGXFXaGFE =+∈= ρ kde 2a > }FG
F, G - ohniska
A, B – hlavní vrcholy
C, D – vedlejší vrcholy
S - střed
a – velikost hlavní poloosy
b – velikost vedlejší poloosy
e – excentricita (výstřednost)
a2
= b2
+ e2
Rovnice elipsy E(F, G, 2a ):
1) Středová
a) S[0;0] ……... E:
b) S[m;n] ……..E:
2) Obecná …….E: Ax2
+ By2
+ Cx + Dy + E = 0 , A≠ B , A.B > 0
Vzájemná poloha bodu a elipsy:
Nechť je dána elipsa E: Ax2
+ By2
+ Cx + Dy + E = 0 a bod M[xM, yM]. Levou stranu rovnice
elipsy označíme L(x, y). Pak platí:
1) Je-li L(xM, yM) = 0, pak M∈ E.
2) Je-li L(xM, yM) > 0, pak M leží vně E.
3) Je-li L(xM, yM) < 0, pak M leží uvnitř útvaru ohraničeného elipsou E.






=+
=+
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
a
y
b
x
b
y
a
x
( ) ( )
( ) ( )








=
−
+
−
=
−
+
−
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
a
ny
b
mx
b
ny
a
mx
A B
C
D
F GS
a f
a
b
Vzájemná poloha přímky (lineárního útvaru) a elipsy – je dána počtem společných
bodů. Řeší se tedy soustava kvadratické rovnice (elipsy) a lineární rovnice (přímky)
E: Ax2
+ By2
+ Cx + Dy + E = 0
p: ax + by + c = 0
- soustava dvou rovnic o dvou neznámých
Může nastat, že soustava má:
1) 2 řešení: }{ sečnaspPPpE ..............; 21 ==∩
2) 1 řešení: }{ tečnatpTpE ..................... ==∩
3) 0 řešení: přímkavnějšínppE ...................... =∅=∩
Pozn.: Určujeme-li vzájemnou polohu elipsy a některé podmnožiny přímky (úsečka,
polopřímka), pak při řešení pracujeme raději s parametrickou rovnicí dané podmnožiny.
Rovnice tečny vedené k elipse E(F, G, 2a) v jejím bodě T[xo,yo]:
( )( ) ( )( ) 12
0
2
0
=
−−
+
−−
b
nyny
a
mxmx
E P1
P2
T
s
t
n