10. Soustavy rovnic a nerovnic - varianta A
1. Určete definiční obor funkce
f : y =
√
x2 − x − 6 + log1
3
(2x + 8) .
2. Pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny jsou v poměru 8 : 15 má přeponu dlouhou 34 mm. Jak dlouhé
jsou jeho odvěsny?
3. V oboru reálných čísel vyřešte soustavu rovnic
2x + 3y − z = −11 ,
5x − y + 2z = 16 ,
−3x + 2y + 4z = 7 .
4. Nechť je dána kuželosečka k : y = x2
− 4x + 5 a přímka p : y = 1 − 2x. Najděte rovnice všech tečen
kuželosečky k, které jsou rovnoběžné s přímkou p. Určete i druh kuželosečky k.
10. Soustavy rovnic a nerovnic - varianta B
1. V kartézské soustavě souřadnic znázorněte množinu všech bodů [x, y] (x, y ∈ R), pro něž platí
(x + 3)2
+ (y − 1)2
≤ 25 a 4x − 3y + 15 ≥ 0 .
Pojmenujte útvar, který je množinou všech vyhovujících bodů a v náčrtu vyznačte přesně jeho polohu.
2. Pro reálná čísla x, y a z platí x : y : z = 3 : 4 : 5 a dále to, že součet jejich druhých mocnin je roven
1 250. Určete čísla x, y a z.
3. Najděte všechny hodnoty reálného parametru p, pro něž má soustava
x + y + 2z = p ,
3x − 2y + z = −1 ,
3x − 7y − 4z = 4 .
s neznámými x, y a z alespoň jedno řešení v oboru reálných čísel. Toto (tato) řešení již hledat nemusíte.
Svá tvrzení podložte výpočtem.
4. Najděte pravoúhlý trojúhelník, který má obvod 36 cm a jeho strany tvoří tři po sobě jdoucí členy
aritmetické posloupnosti. Svá tvrzení podložte výpočtem.