Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14
Písemná maturitní zkouška z matematiky pro třídu se zaměřením na matematiku
15. dubna 2011
1. Uvažujme výraz
V{n) = 4n3 - 4n + 6 .
(a) Rozhodněte, zda existuje vhodné n G Z takové, aby hodnota zadaného výrazu V v bodě n byla rovna druhé mocnině nějakého přirozeného čísla (tj. zda existují čísla n G Z a k G N, pro něž by platilo V{n) = k2). V kladném případě alespoň jednu dvojici vyhovujících čísel n a k najděte, v záporném případě zdůvodněte, proč požadovaná čísla n a k nemohou existovat.
(b) Najděte nej většího společného dělitele pro všechna n G N výrazu V (tj. najděte největší d G N, které má tu vlastnost, že d \V(n) pro všechna n G N). Svá tvrzení dokažte.
(c) Určete nejmenší a největší n G Z, pro které je výraz V dělitelný výrazem n+2 (tj. platí (n + 2) | V(n)). Dále zjistěte počet všech celých čísel n s vlastností (n + 2) | V(n). Nemusíte je tedy všechna vyčíslovat. Svá tvrzení podložte výpočty.
2A. Nechť jsou dány body A=[2;3]aií= [5; 2] a přímka q : y = 3.
(a) Vyšetřete, co je množinou M všech bodů X = [x; y] v rovině, pro které platí
\XA\ = V2\Xq\ .
(Zápis \Xq\ značí vzdálenost bodu X od přímky g, symbolem \XA\ je označena délka úsečky AX.) Tvoří-li množinu M nějaká kuželosečka, zjistěte, zda je regulární či singulární, najděte všechny její středy a případné singulární body, určete její asymptotické směry. Jedná-li se o regulární kuželosečku, zjistěte její druh. Pokud jde o kuželosečku singulární, zjistěte, čím je tvořena.
(b) V množině M z předchozí části úlohy najděte ten bod (případně všechny body, existuje-li jich více), který má od bodu K nejmenší vzdálenost. Svá tvrzení podložte výpočty.
(c) Označme libovolně B a C ty body množiny M (z části (a) této úlohy), které leží na ose y a D a E opět libovolně ty body množiny M, které leží na ose x (tzn. nebude důležité, který průsečík například označíte B a který C). Najděte body B, C, D a E. Určete počet všech bodů v rovině, ze kterých je každou z úseček BC a DE vidět pod pravým úhlem. Tyto body již nemusíte hledat. Svá tvrzení zdůvodněte.
2B. Nechť je dána kulová plocha k : x2 + y2 + z2 — 2x + 6y — Az — 11 = 0, rovina o : x — 2y + 2z — 20 = 0 a body A = [8; -5; 3], B = [3; 10; -5] a C = [7; -3; -6].
(a) Vypočtěte střed a poloměr kulové plochy k.
(b) Určete střed a poloměr kružnice k, ve které protíná rovina a kulovou plochu k.
(c) Najděte obecnou rovnici tečné roviny kulové plochy k, která je kolmá k rovině a a rovnoběžná s přímkou AB. Příslušný dotykový bod tečné roviny s k určovat nemusíte. Najděte všechna řešení této úlohy.
(d) Uvažujme rotační kužel s vrcholem v bodě C, jehož hranici podstavy tvoří dotykové body všech tečen vedených z bodu C ke kulové ploše k. Dokažte, že tento kužel je rovnostranný (tzn. že délka jeho strany je rovna průměru podstavy).
1
3A. Uvažujme funkce
h{x) = é~x + 1,       f2(x) = a f3(x)
x2
x + 2
(a) Najděte tečnu ke grafu funkce fi, která je rovnoběžná s přímkou o rovnici y = —x. Určete rovněž dotykový bod hledané tečny s grafem funkce f\.
(b) Pomocí prvních tří členů Taylorova polynomu funkce /2 se středem v bodě x0 = 9 přibližně vypočtěte
vTT.
(c) Vhodnou metodou v IR vyřešte rovnici
é~* + 1 = Jí.
Zdůvodněte přitom, proč má rovnice vámi udávaný počet kořenů, (d) Vyšetřete obor hodnot funkce /3. Jiné její vlastnosti studovat nemusíte.
3B. Uvažujme posloupnost {an}^Li, jejíž n-tý člen je definován předpisem
2' n
an = log35 1
(a) Dokažte, že a\ ^ Q.
(b) Určete následující vlastnosti posloupnosti {an}^Li-
i. Zjistěte, zda je zadaná posloupnost tvořena pouze kladnými členy. Svou odpověď zdůvodněte.
ii. Vypočtěte
lim an
a vysvětlete, co tento výsledek znamená pro konvergenci či divergenci řady Y^n=i an-
iii. Vyšetřete monotonii uvažované posloupnosti.
(c) Rozhodněte, zda vztahy
n + 2
an+i = an- log35 , ax = log35 3
představují rekurentní vzorce studované posloupnosti {an}^Li, tzn. zjistěte, zda uvedená rekurentní formule je jiným (ekvivalentním) vyjádřením posloupnosti
Svá tvrzení zdůvodněte.
(d) Vypočtěte součet prvních 48 členů posloupnosti {onj^Lx (tj. určete S48, kde S48 = a\ + a2 H-----1- 043).
Výsledek upravte do nejjednoduššího možného tvaru.
(e) V případě, že je nekonečná řada Y^ľ=i an konvergentní či určitě divergentní, najděte její součet.
2