Kapitola 13
Trojúhelníky a mnohoúhelníky
1. Rozhodněte, zda body A = [1;2], B = [-3; 14] a C = [5; 5] tvoří vrcholy trojúhelníku. V kladném případě vypočtěte \<ACB\, najděte souřadnice jeho těžiště, určete velikost výšky Vt, a zjistěte obsah S trojúhelníku ABC. Výsledky vyjádřete s přesností na jednotky minut, resp. na jedno desetinné místo.
2. Nechť jsou dány body A = [5; -5; 2], B == [-7; 7; -4] a C = [-2; 5;0]. Určete souřadnice bodu D tak, aby ABCD (v tomto pořadí vrcholů) byl lichoběžník, ve kterém platí AB || CD a \AB\ = 3|CD|. Dále dokažte, že lichoběžníku ABCD lze opsat kružnici.
3. Bod A, který je v Gaussově rovině obrazem komplexního čísla
je jedním z vrcholů pravidelného osmiúhelníku ABCDEFGH, který má střed v počátku Gaussovy roviny. Určete komplexní čísla zB, Zc, zp, ze, Zp, zq a Zh, která jsou v Gaussově rovině obrazy zbylých vrcholů tohoto osmiúhelníku. Výpočet doplňte i náčrtem pravidelného osmiúhelníku ABCDEFGH v Gaussově rovině.
4. Dokažte, že deltoid je tečnový čtyřúhelník.
5. Lichoběžníku ABCD (AB \\ CD) je vepsána kružnice se středem O. Dokažte, že
a) \<AOD\ = 90°,
b) \<DOC\ = \<DAO\ + \<ABO\.
6. Tečny vedené ke kružnici k(0,r) z bodu A se dotýkají kružnice k v bodech T a U. Třetí tečna protíná úsečky AT a AU po řadě v bodech B a C. Určete obvod trojúhelníku ABC, je-li \AT\ = 12 cm.
7. Nechť je dán lichoběžník ABCD (AB \\ CD) s ostrými úhly a. a ft. Nechť na základně AB existuje bod E takový, že kružnice opsané trojúhelníkům AED a
76
KAPITOLA 13. TROJÚHELNÍKY A MNOHOÚHELNÍKY
EBC mají vnější dotyk. Dokažte, že čtyřúhelník ECVD, kde V značí průsečík přímek AD a B Ó, je tětivový.
8. V trojúhelníku ABC je při obvyklém značení dáno /? = 120°, a = 6 cm a c = 10 cm. Vypočtěte délku strany 6, velikost úhlu a, obsah S, poloměr r kružnice opsané trojúhelníku ABC a velikost jeho výšky vc.
9. Nechť je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a. Sestrojte řez této krychle rovinou )kLM, kde body k, L a M značí po řadě středy hran AE, AB a HG. Pojmenujte mnohoúhelník, který je tímto řezem a vypočtěte jeho obvod a obsah.
10. Zjistěte, zda existuje konvexní n-úhelník, jehož nejmenší úhel je pravý a každý následující úhel má pak velikost o 12° větší než úhel předcházející. Najděte všechna n, pro něž takový n-úhelník existuje.
11. Sestrojte trojúhelník ABC, jsou-li dány délky jeho těžnic tf, a tc a dále velikost úhlu 7. Udělejte pouze náčrt a rozbor, postup konstrukce ani rys provádět nemusíte. Uveďte a zdůvodněte, jaký počet řešení může daná úloha mít; závislost počtu řešení úlohy na volbě hodnot zadaných parametrů diskutovat nemusíte.
12. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno a a e + / = \AC\ + \BD\. Udělejte pouze náčrt a rozbor, postup konstrukce ani rys provádět nemusíte. Uveďte a zdůvodněte, jaký počet řešení může mít daná úloha v závislosti na volbě hodnot zadaných parametrů (předpokládejte přitom, že a < 180° a e + f > 0).
13. V rovině jsou dány body C, V, U takové, že \CV\ = 3cm, \VU\ = 3, 5cm a \CU\ — 4, 5 cm. Sestrojte ostroúhlý trojúhelník ABC tak, aby byl V průsečík jeho výšek a úsečka AU tvořila průměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.
77
KAPITOLA 13. TROJÚHELNÍKY A MNOHOÚHELNÍKY
Návody a výsledky:
1. Platí
cos {<ACB) =
C A ■ C
(-4;-3)-(-8;9)
CA
ČĚ
32
-4Y + (-3Y- ^(-S)2+ 92 - 27 1
5 ■ v/Í45 \/l45
<,4CB| = 85° 14'
což znamená, že ABC je trojúhelník. Dále platí, že ASab = Sab^, odkud po úpravě dostávame, že Sab = Neboť 3Ša~^Ť = SabC, obdržíme odtud pro těžiště T užitím předchozího vztahu T = A+^+c. Po dosazení máme T    [1; 7].
Velikost výšky u& je výhodné určit jako vzdálenost bodu B od přímky aÔ. Za tímto účelem nejprve najdeme obecnou rovnici přímky AČ; ta má tvar 3x - Ay + 5 = 0. Proto
l^o + by0 + c\    |3-(-3)-4-14 + 51 vb = v(B, AC) =-- =-- -=
Víi2 4- 62 /o9 , / a\2
= 12
32 + (-4)'
Obsah 5 trojúhelníku ABC můžeme určit pomocí vektorového součinu S =
AĚxAC
K tomu je ale třeba uvažovat zadaný trojúhelník v prostoru. Toho snadno formálně docílíme tak, že ke každému zadanému bodu přidáme stejnou (např. nulovou) třetí souřadnici, takže A = [1;2;0], B = [—3; 14; 0] a C = [5;5;0]. Pak ÄÉ = (-4; 12; 0), IÔ = (4; 3; 0) a 2Ě x ÄÔ = (0;0;-60). Proto S = 30.
2. Dle zadání musí platit 3DC = AB (nikoliv 3CÍ) = ÄŽ). Odtud D = C +
+
[2;1;2]. Pokud lze lichoběžníku opsat kružnici, znamená to, že se musí jednat o tětivový čtyřúhelník, tzn. že součet jeho protějších vnitřních úhlů musí být 180°. Toto platí právě v rovnoramenném lichoběžníku. Snadno overíme, ze \IÍ)\ = \bÔ\ = 3^5, což znamená, že abcd je rovnoramenný lichoběžník.
3. Upravujme
(v/3 + ^117)9 _ {V3 + tf _ [2 (cos f + ísinf)]9
za
2f
27 - 2\ 27y/2
29 (cosf + isinf) -22i
To znamená, že bod za, který lze rovněž vyjádřit ve tvaru
= 2V2 [cos sin ,
78
2,4
KAPITOLA 13. TROJÚHELNÍKY A MNOHOÚHELNÍKY
leží na záporné části imaginární osy. Všechny vrcholy hledaného osmiúhelníku mají stejnou absolutní hodnotu a jejich argumenty dostaneme tak, že k argumentu —§ budeme postupně přičítat = f ■ Takto najdeme hledané body zB = 2- 2i, zc = 2^2, zD = 2 + 2i, zE = 2\/2í, zF = -2 + 2í, zG = -2y/2, Zh = — 2 — 2i. Rovněž lze využít symetrii osmiúhelníku (viz obrázek).
	Im '	\ K	
			
G			\c
			I Re
		A	1B
Obrázek 13.1: K řešení úlohy 3
4. Je třeba pouze ukázat, že a + c = b + d, což deltoid zřejmě splňuje.
5. a) Stačí si uvědomit, že přímka JíÔ je osou úhlu u vrcholu A (označme jeho
velikost a), podobně přímka hÔ je osou úhlu u vrcholu D (označme jeho velikost 6). Protože a + S = 180°, platí, že \<AOD\ = 180° - f - f = 90°. Poznamenejme, že analogicky bychom dokázali, že pravý je i úhel <BOC.
Obrázek 13.2: K řešení úlohy 5
b) Z právě dokázaného plyne, že \<AOB\ + |<DOC| = 180°. Součtem všech vnitřních úhlů v trojúhelníku AOB v souladu s předchozím značením
79
KAPITOLA 13. TROJÚHELNÍKY A MNOHOÚHELNÍKY
<ABO\ = |, dostávame rovnost
dostávame |<j405| = 180° — f— f, přičemž 0 značí velikost vnitřního úhlu u vrcholu B. Z posledních dvou uvedených rovností vyplývá, že \<DOC\ = - f + f. Protože však \<DAO\ = f a \<DOC\ = \<DAO\ + \ <ABO\, kterou jsme měli dokázat
6. Označme V dotykový bod tečny BC a kružnice k. Protože platí \BT\ = \BV\, je \AB\ + \BV\ = 12cm. Podobně \UC\ = \CV\, takže \AC\ + \CV\ = 12cm. Obvod trojúhelníku ABC je tedy 24 cm.
Obrázek 13.3: K řešení úlohy 6
7. Označme obvyklým způsobem a (resp. 0) velikost vnitřního úhlu u vrcholu A (resp. B) lichoběžníku ABCD. Společná tečna obou zmíněných kružnic se jich dle zadání dotýká v bodě E. Pro zjednodušení dalšího popisu ještě zvolme na této tečně libovolný bod X, který je vnitřním bodem lichoběžníku ABCD.
Obrázek 13.4: K řešení úlohy 7
Podle známého tvrzení o obvodových a úsekových úhlech platí \<EAD\ — = \<DEX\ = a a \<EBC\ = \<CEX\ = /3. Proto \<DEC\ = a + fi. Pomocí
80
KAPITOLA 13. TROJÚHELNÍKY A MNOHOÚHELNÍKY
součtu všech vnitřních úhlů v trojúhelníku ABV pak dostáváme |<j4V/?| = = 180° - a - 0. To ale znamená, že \<DEC\ + \<AVB\ = 180°, což dokazuje, že čtyřúhelník ECVD je tětivový.
8. Podle kosinové věty platí
b2 = a2 + c2 ~ 2accos/3 6= 14cm.
Užitím sinové věty v základním tvaru pak dostáváme
sina=-sin/?    =4>    a = 12°22'. b
Poznamenejme, že výsledek je zde jednoznačný (hodnota a = 167°38' nevyhoví), neboť díky tomu, že úhel /3 je tupý, musí být úhel a ostrý. Užitím trigonometrického vzorce pro obsah trojúhelníku dále obdržíme
S=~aesinfi    =»    S = lôV^cm2 = 26cm2.
Poloměr r kružnice opsané trojúhelníku ABC získáme pomocí sinové věty v rozšířeném tvaru, např.
b b 14
= Ir r — —;—-    =4>    r = —= cm = 8,1 cm .
sin f5 2 sin /? 1/3
Konečně užitím goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku dostaneme
= sin (180° - 0) = sin/5 vc = asinp = SV^cm = 5, 2cm.
a
Obrázek 13.5: K řešení úlohy 9
9. Body k a l lze spojit, neboť oba leží v rovině přední stěny krychle. Dostáváme tím část řezu v této rovině. Bodem m vedeme rovnoběžku p s přímkou )kL a
81
KAPITOLA 13. TROJÚHELNÍKY A MNOHOÚHELNÍKY
získáváme tak část řezu v rovině zadní stěny krychle. Přímka p protíná hranu CG v jejím středu. Abychom mohli sestrojit část řezu v pravé boční stěně krychle, potřebujeme v ní najít ještě další bod, který leží i v rovině řezu (tj. v rovine Hledaný bod však leží v průsečíku přímek K L a B~P. Nyní
již snadno řez dokončíme. Řezem je pravidelný šestiúhelník, který spojuje po řadě středy hran AE, AB, BC, CG, GH, EH. Délka jeho strany je proto jeho obvod je 3\/2a a pro obsah S vychází
1   fy/2 Y   , pno    ?> 2   ^    3V3 2
S = 6 • - •   -—a    ■ sin 60° — -a ■ —— =-a
2   l 2   J 2       2 4
Obsah rovnostranného trojúhelníku o straně délky byl počítán užitím trigonometrického vzorce pro obsah trojúhelníku.
10. Dle zadání tvoří velikosti vnitřních úhlů hledaného n-úhelníku aritmetickou posloupnost s prvním členem oi = 90 a diferencí d = 12. Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí
sn = —2--n> í13-1)
kde an = ai + (n — l)d. Pro součet číselných hodnot velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku též platí
sn = (ra-2) ■ 180. (13.2)
Porovnáním pravých stran rovnic (13.1) a (13.2) a dosazením číselných hodnot dostaneme po úpravě rovnici v? — 16n + 60 = 0, která má kořeny ri\ = 6 a ri2 — 10. Provedením zkoušky zjišťujeme, že vyhoví pouze první hodnota, protože v desetiúhelníku by existovaly hned dva úhly, které by byly větší než 180°. Zadání úlohy vyhoví pouze šestiúhelník (s vnitřními úhly 90°, 102°, 114°, 126°, 138° a 150°).
11. Uvažme trojúhelník SacBC, kde Sac značí střed strany AC. Na úsečce SacB leží těžiště T trojúhelníku ABC a to tak, že platí 2\SACT\ = \TB\ = \tb. Navíc \TC\ = |ťc a \<SAcCB\ = 7. Trojúhelník SacBC lze tedy sestrojit.
Obrázek 13.6: K řešení úlohy 11
82
KAPITOLA 13. TROJÚHELNÍKY A MNOHOÚHELNÍKY
Začneme úsečkou SacB, na které najdeme (např. pomocí redukčního úhlu) polohu těžiště T. Bod C pak musí ležet na množině všech bodů, z nichž je vidět úsečku SacB pod úhlem 7 (kruhový oblouk k) a na kružnici l (T; |íc). Bod A pak získáme jako obraz bodu C ve středové souměrnosti se středem Sac- Počet průsečíku A; a Z pak rozhoduje o počtu řešení. Úloha tedy může mít ve zvolené polorovině 0 až 2 řešení.
12. Úsečku DB zobrazme v posunutí o vektor A~Ě do úsečky CB'. Platí tedy \DB\ = \CB'\ = f, přičemž DB || CB'. Neboť AC J_ B D (úhlopříčky v kosočtverci jsou na sebe kolmé), plyne ze zmíněné rovnobežnosti i kolmost úseček AC a CB'. Na polopřímce opačné k polopřímce CA ještě uvažme bod X tak, aby platilo \CX\ = \CB'\. Trojúhelník CXB' je tedy pravoúhlý a rovno-ramenný, což znamená, že \<CXB'\ = \<AXB'\ = 45°. Vzhledem k tomu, že úhlopříčky v kosočtverci půlí jeho vnitřní úhly, platí i |<A"^4I?'| = f. Trojúhelník AXB' tedy můžeme sestrojit podle věty usu.
Obrázek 13.7: K řešení úlohy 12
Bod B najdeme jako střed úsečky AB'. Bod C pak sestrojíme například jako průsečík osy úsečky XB' s úsečkou AX. Konečně bod D lze získat posunutím bodu C o vektor BA. Veškeré konstrukce byly jednoznačné, úloha má vždy jediné řešení.
13. Označme k kružnici opsanou trojúhelníku ABC. Neboť trojúhelník ABC je ostroúhlý, leží bod U na, k uvnitř toho oblouku BC, který neobsahuje bod A. Podle Thaletovy věty jsou úhly <UCA a <UBA pravé. Jelikož výška BV je kolmá na stranu AC, platí BV || UC. Analogicky lze ukázat, že CV \\ UB, takže BUCV je rovnoběžník. Odtud již plyne konstrukce. Zadaný trojúhelník UCV doplníme na zmíněný rovnoběžník BUCV, bod A pak sestrojíme jako průsečík kolmice k přímce BV procházející bodem C a kolmice k přímce CV procházející bodem B. Snadno se ověří, že takto sestrojený trojúhelník má všechny požadované vlastnosti. Úloha má za zadaných podmínek právě jedno řešení.
83
KAPITOLA 13. TROJÚHELNÍKY A MNOHOÚHELNÍKY
Obrázek 13.8: K řešení úlohy 13
84