37.B Stereometrie
Stereometrie se zabývá vlastnostmi prostorových útvarů.
Základními útvary jsou body,přímky a roviny. Přitom body jsou prvky prostoru, zatímco přímky a roviny (příp. jejich části) jsou podmnožiny prostoru.
Polohové vlastnosti přímek a rovin
, Jvě přímky v prostoru
leží v jedné rovině
mají společný právě jeden bod p, q jsou různoběžky
přímky p, q
neleží v jedné rovině (nemají žádný společný bod) p, q jsou mimoběžky
nemají žádný společný bod, pak p, q jsou různé rovnoběžky, nebo mají nekonečně mnoho společných bodů, pak p, q splývají
Přímka a rovina_
přímka p, rovina p
mají společný právě jeden bod p je různoběžná s p
nemají žádný společný bod, pak je p rovnoběžná s p a neleží v ní nebo mají nekonečně mnoho společných bodů, pak p leží v p
Dvě roviny
roviny p, c
průnikem je přímka p, c jsou různoběžné
průnik je prázdný, pak p, c jsou různé rovnoběžné roviny
nebo mají nekonečně mnoho společných bodů neležících jen na přímce, pak p = g
Některé věty:
a) Dvěma různými body A, B je určena jediná přímka.
b) Leží-li dva různé body v rovině p, pak přímka p jimi určená leží také v rovině p .
c) Mají-li dvě různé roviny p a g společný bod A, pak mají společnou celou přímku, která tímto bodem prochází. Mimo tuto přímku nemají společné již žádné body.
d) Rovina je jednoznačně určena:
1) Přímkou a bodem, který na ní neleží.
2) Dvěma různými rovnoběžnými přímkami.
3) Dvěma různoběžnými přímkami.
4) Třemi různými body, které neleží v téže přímce. Značení:       Přímka <-»AB určena dvěma body A, B.
Rovina <-»ABC určena třemi různými body A, B, C. Rovina <-»Ap určena bodem A a přímkou p, Ag p. Rovina -^pq určena dvěma přímkami p, q, p ^ q.
Rovnoběžnostpřímek a rovin
1) Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku.
2) Rovnoběžnost přímek je tranzitivní: /?||gAg||r^>/?||r Kritérium rovnobežnosti přímky a roviny:
3) Přímka p je rovnoběžná s rovinou p, obsahuje-li rovina p aspoň jednu přímku pkterá je s přímkou p rovnoběžná.
4) Je-li přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí.
Kritérium rovnobežnosti dvou rovin
5) Dvě roviny p a g jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich např. p obsahuje dvě různoběžné přímky p, q, které jsou rovnoběžné s rovinou c.
6) Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou rovinu s ní rovnoběžnou.
7) Rovnoběžnost rovin je tranzitivní: />||(7A(7||r^>yC>||r
8) Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina v rovnoběžných přímkách.
Metrické vlastnosti přímek a rovin
Odchylky přímek a rovin
1) Odchylka dvou různoběžných přímek - je velikost každého z ostrých nebo pravých
úhlů, které přímky spolu svírají.
2) Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0° (0 rad).
3) Odchylka dvou mimoběžných přímek - je odchylka různoběžných přímek vedených
libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami. Odchylka dvou mimoběžných přímek nezávisí na volbě bodu, kterým vedeme rovnoběžky s danými přímkami.
4) Je-li přímka p kolmá k rovině p, je jejich odchylka rovna 90°.
5) Pokud přímka p není kolmá k rovině p, pak se jejich odchylka rovná odchylce této
přímky p od jejího pravoúhlého průmětu p' do roviny p.
6) Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou kolmou na obě roviny.
Pozn.: Odchylka dvou rovin je odchylka jejich normál (normála roviny je každá přímka kolmá k rovině)
Kolmost přímek a rovin
1) Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jejich odchylka je 90°.
2) Dvě úsečky jsou kolmé právě když leží na kolmých přímkách. (Ve stereometrii
mohou být kolmými i mimoběžné přímky.)
3) Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímka kolmá ke všem
přímkám roviny. Kritérium kolmosti přímky a roviny:
4) Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám roviny, pak je k rovině kolmá.
5) Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici.
6) Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu. Kritérium kolmosti dvou rovin:
7) Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku
kolmou k druhé rovině.
Vzdálenosti bodá, přímek a rovin
1) Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB značíme ji |A5|.
2) Vzdálenost bodu A od přímky p je délka úsečky AP, kde P je pata kolmice k vedené
v rovině <-+Ap bodem A k přímce p. Značíme ji \Ap\.
3) Vzdálenost bodu A od roviny p je vzdálenost bodu A a jeho pravoúhlého průmětu A'
do roviny p. Značíme ji \Ap\.
4) Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek p, q je vzdálenost libovolného bodu jedné
přímky od druhé přímky. Značíme ji \pq\.
5) Vzdálenost dvou mimoběžných přímek p, q je délka osy mimoběžek.
Pozn.: Osa mimoběžek p, q je nejkratší ze všech příček mimoběžek (úseček XY, kde X £ p, Y £ q), která je zároveň kolmá k oběma mimoběžkám.
6) Vzdálenost přímky p od roviny p s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu
přímky p od této roviny p. Značíme ji \pp\ ■
7) Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin p, o je vzdálenost libovolného bodu jedné
roviny od druhé roviny. Značíme ji \po\ ■
Volné rovnoběžné promítání:
- slouží ke grafickému znázorňování prostorových útvarů do roviny.
• Rovina, do níž těleso promítáme, se nazývá průmětna.
• Každá rovina, která je s průmětnou rovnoběžná, se nazývá průčelná rovina.
• Průmětem (obrazem) bodu je bod, přímky bod nebo přímka, úsečky bod nebo úsečka.
• Obrazem dvou rovnoběžných přímek jsou dvě rovnoběžné přímky, dva body nebo
jedna přímka (zachovává se rovnoběžnost).
• Útvary, které leží v průčelně rovině, se zobrazují ve skutečné velikosti.
• Úsečky, které jsou kolmé k průčelně rovině, se zkracují na polovinu a nanášejí se pod
úhlem 45°.
• Při zobrazení úseček na rovnoběžných přímkách se zachovává poměr jejich délek.
v
Rez tělesa rovinou
Př. 2:
Reš.:
Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou, která je určena přímkou p, která je rovnoběžná s přímkou AC a prochází bodem L, kde L je středem hrany AB. Dále bodem K, který je středem hrany DV.
Průsečíky přímky s tělesem
Př. 3: Je dána krychle ABCDEFGH a přímka p = <-^PQ. Bod P je bodem polopřímky DC, i    i   4,    , ,    ,   3, ,
\DP\ ——\CD\, bod Q je bodem polopřímky EF, \FQ\ =—\EF\ .Sestrojte průsečíky přímky p s povrchem krychle.
Řeš.:
	HA- / i				
	u y —■——	F ^ y			
	1 1 D\				
	1 y		l		
	/ f				
J—-   A. a		jí			
Př. 4: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Bod S je středem podstavy. Bod M je
i     i  3, i
bodem polopřímky BA, \BM\ ——\AB\, bod N je středem úsečky SV. Sestrojte průnik přímky MN s jehlanem.
Řeš.
Průsečnice dvou rovin
Postup při hledání průsečnice dvou rovin:
• Sestrojíme řezy tělesa pro obě roviny.
• Hledáme společné body hranic obou řezů v jednotlivých stěnách (typicky bychom
měli nalézt dva).
• Spojnice nalezených boduje hledaná průsečnice..
Př. 5.: Je dána krychle ABCDEFGH. Sestroj průsečnici rovin CSaeSgh a BDScg-Řeš.:
i Společné body obou rovin leží v zadní stěné a v podstave.
Př. 6.: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestroj průsečnici roviny SavKL (K eBV, |Ví:|=4.|£B| a LeBC, |#L| = 2.|LC| ) s rovinou XYSCV (X eAV, |XV| = 3.|X4| a
Y SAB , |AF| = 2.|F5|).
Řeš.:
rovina S^.KL rovina XYSn
y y
H L
'P
■í
Společné body obou rovin leií v levé a pravé siénů.
Průsečík přímky s rovinou
Postup při hledání průsečíku přímky s rovinou:
• Sestrojíme řez tělesa rovinou.
• Sestrojíme řez tělesa další libovolnou (ale vhodně zvolenou) rovinou, která obsahuje
přímku.
• Sestrojíme průsečnici obou rovin.
• Průsečík průsečnice a přímky je hledaným bodem.
Př. 7.: Je dána krychle ABCDEFGH. Najdi průsečík přímky KH s rovinou GSbfSad • Bod K leží na polopřímce AB a platí\AK\ =1,5|A5|.
Řeš.:
Př.: 8 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Sestroj průsečík přímky KSdv (kde KeAB, Uid=l,5u5|) s rovinou BCV.
přímka k'Sni a rovina BCV prosečnke pomocné roviny KSl}í V a roviny
Y 8Cf' => průsečík přímky KSDÍ s rovinou BCV