3. Metody analýzy časových řad v klimatologii



3.1 Periodicita a cykličnost
Klima je vyjádřeno různými prvky (např. teplota vzduchu, srážky, indexy), proměnlivými v prostoru a
čase:
{a, b, c, …} = f (x, y, z, t),
a, b, c, … jsou prvky klimatu, x, y, z jsou prostorové souřadnice a t je čas.
Při studiu časových změn platí pro dané místo
{a, b, c, …} = f (t).
Informace o časových změnách je získávána v podobě časové řady
{ai, bi, ci, …} = f (ti)  s  ti+1 – ti = Δt = konst., i = 1, 2, …, n
Δt je časový interval (např. den, měsíc, rok) a n je délka řady.

Typy kolísání v časových řadách
Periodická: s periodou T
Transientní: lineární nebo nelineární trend
Cyklická (kvaziperiodická, rytmická):
s periodou T
Náhodná (stochastická)
img113 img114
_

img044
Perioda T
Cyklus T
Náhodnost
Cyklus s periodou Tp:  Δt << Tp << n Δt
Vnitřní cykly: Tp < Δt                             Vnější cykly: Tp > n Δt

Podmínky aplikovatelnosti statistických metod
• nezávislost hodnot časové řady
• stacionarita řady, tj. statistické charakteristiky řady Sj (j = 1,2, …, J) jsou časově nezávislé,
tedy ∂Sj / ∂t = konst.
• ergodicita, tj. průměr dané řady (výběrový soubor) s jejím prodlužováním v časovém intervalu L se
blíží střední hodnotě celé řady (základního souboru)
Nesplnění podmínek: výsledky analýzy mají platnost pouze pro danou realizaci časové řady (tj. daný
výběr), je třeba testovat výsledky se zřetelem na vlastnosti základního souboru.
Nestacionarita – přirozená vlastnost klimatických řad (změny a kolísání klimatu).

3.2 Korelační analýza
Korelační koeficient
Podmínka použití: hodnoty obou řad jsou nezávislé a mají přibližně normální rozdělení.
img129

Autokorelační koeficient
Autokovariance
img069 img070
Autokorelace
img071

img072



Křížově-korelační koeficient
img074 img115
Denní úhrny srážek

img116



img077 img078
3.3 Harmonická analýza
Řada spojitá, nekonečná a periodická – superpozice konečného počtu sinových a kosinových funkcí –
Fourierova analýza – Fourierova řada:

img079 img075
Pro klimatologické řady, nesplňující uvedené podmínky, lze nahradit Fourierovy koeficienty
Besselovou formulí, aplikovatelnou pro přibližně periodickou řadu:
Počet harmonik hi = P/i je N/2, hmin = 2Δt, hmax = P.




img076
Falešný efekt (aliasing effect) – skutečná kolísání s periodou T1 (5/4ΔT) mohou být se zřetelem na
interval měření Δt chybně interpretována periodou T2 (5ΔT), kde T2 > T1

img087
Harmonická analýza ročních úhrnů trvání slunečního svitu
C1
C2
t1
t2

3.4 Spektrální analýza (Power Spectrum Analysis)
img082
Postup výpočtu:
a)Výpočet autokorelačních (autokovariančních) koeficientů pro posun od 0 do M, kde M<n, n – délka
řady
b)Výpočet kosinové transformace M+1 autokorelačních koeficientů (analogie Fourierovy transformace
pro spojité hodnoty)
c)Kosinovou transformací se získá M+1 „hrubých odhadů“ variančního spektra (jde o vyjádření podílu
period blízkých i-té harmonice h na celkovém rozptylu dané řady)
d)Shlazení „hrubých odhadů“ k získání finálního spektra pro M+1 diskrétních hodnot
- zobecněná harmonická analýza

img080
h – harmonika (0 – spektrální odhad odpovídající trendu, M – odpovídá 2Δt)
D(k) – filtrační funkce umožňující použití Fourierovy transformace na konečnou řadu

img081
Omezení spektra:
fmin = 0 → Tmax = ∞            fmax = 1/2∆t → Tmin = 2∆t

img083 img084
Interpretace spektra
a) Periodická funkce s periodou T1
b) Periodická funkce s periodami T1 a T2
c) Cyklická kolísání se střední periodou T
d) Náhodná čísla (tzv. bílý šum nebo bílé spektrum)
e) Náhodná čísla s trendem (tzv. rudý šum nebo rudé spektrum)
_

img085
Testování významnosti získaného výběrového variančního spektra se provádí s ohledem na bílé, resp.
rudé spektrum.

img086
Spektrální analýza Blackmann-Tukey řady ročních průměrných teplot vzduchu Střední Anglie 1660-1969
(M = 100). R – rudé spektrum, CL – hladiny významnosti, r. v. – relativní rozptyl
Nevýhoda B&T analýzy: Rozlišení spektra je závislé na maximálním posunu M (M+1 spektrálních
odhadů). Protože počet stupňů volnosti by měl být ≥ 5 → M = 1/3n. Doporučují se ale hodnoty M
menší.
Výhoda: spektrální odhady jsou stabilní ve statistickém smyslu.

img089
Schéma spektrální analýzy maximální entropie (Maximum Entropy Spectral Analysis – MESA)
Nevýhody spektrální analýzy:
• nestabilita spektra
• nestacionarita řad
• „falešný efekt“
• malé frekvenční rozlišení (odstraněno použitím MESA)

img088
Normovaná varianční spektra ročních úhrnů srážek - Maďarsko


3.5 Křížově-spektrální a koherenční analýza
img090
Cxy(h) vyjadřuje podíl oscilací různých frekvencí na celkové kovarianci při nulovém posunu.
Qxy(h) vyjadřuje podíl různých harmonik na celkové kovarianci (harmoniky řady x jsou posunuty o ¼
periody zpět a řada y je beze změny).

img091



Interpretace křížově-spektrální analýzy
-Cxy(h)
+Cxy(h)
protichůdná fáze oscilací
souhlasná fáze oscilací
+Qxy(h)
-Qxy(h)
zpoždění základní řady x vzhledem k řadě y
zpoždění řady y vzhledem k základní řadě x

img092
• koherence řad náhodných čísel se významně neliší od nuly, tj. řady jsou navzájem nezávislé
• jestliže je koherence rovna jedné pro všechny frekvence, je řada x(t) plně závislá na řadě y(t)
• koherence je analogická rxy2, ale v závislosti na frekvenci

img094 img096
Koherence ročních úhrnů srážek:
3) Slovensko – Maďarsko
4) Polsko – Maďarsko
Plně α = 0,01, čárkovaně α = 0,05
1
1
1

3.6. Filtrace
img097
Schéma filtrace časové řady
- představuje shlazení časové řady, v níž některé cykly (periody) jsou potlačeny a jiné zesíleny

img098 img099
- hledá se kompromis mezi největším m a zkrácením řady


img100
Filtrační funkce a časová řada
Bez filtrace – výchozí údaje
Nízkofrekvenční filtrace
Vysokofrekvenční filtrace
Pásmová filtrace

img101



img102
Pásmový filtr
- pásmová filtrace není důkazem cykličnosti řady

img103 img104
Filtrační koeficienty
Filtrace měsíčních úhrnů srážek pásmovým filtrem pro T = 33, resp. 22 měsíců

3.7 Metody klouzavé analýzy
img106
Schéma výpočtu dynamické (klouzavé) MESA
- podmínka stacionarity časové řady může být snadněji splněna v jejich kratších realizacích →
aplikace metod klouzavé analýzy

img105



img107 img108 img110
Slovensko – srážky
       1881-1980
MESA
Milešovka 1905-1994

img111
Time series analysis


3.8 Wavelet analýza
- časově-frekvenční analýza signálu v nestacionárních řadách
img117
(Konvoluce je matematická operace kombinující dva signály tak, aby vznikl třetí.)

img118 img119
Tab. 1. Mateřské wavelety DOG, Paul, Haar, Morlet


img120 img121
Obr. 1. Reálná (plně) a imaginární (přerušovaně) části mateřských waveletů
Obr. 2. Generace waveletů – posun a kontrakce mateřského waveletu pro různé τ a λ

img122 img123 img125 img126
Výběr mateřského waveletu
• Morlet – dobré časové a frekvenční rozlišení
• Paul – malý „cone of influence“ (nekorektní výsledky)
Zobrazení výsledků
• wavelet power spektrum –kvadrát absolutní hodnoty wavelet tranformace
• globální wavelet spektrum – integrál wavelet power spektra „podél časové osy“

img127
Rekonstrukce testovacího signálu
← původní signál x(t)
rekonstrukce signálu (inverzní wavelet transformace)
rozdíl původního a rekonstruovaného signálu
Pmax určuje hranice největší (vpravo), resp. nejmenší (vlevo) detekované periody.

img130 img131



img128



wav_stock ceu_wav
B.
JFMA Stockholm 1543-2008
Teplota JFMA Střední Evropa 1500-2007

NAOI_precip_Brno
Koherenční wavelet analýza – srážky Brno - NAOI


3.9 Analýza hlavních komponent (Principal Component Analysis)
PCA_11
Cílem metody je eliminování duplicit a zhuštění informace obsažené v původních proměnných do
menšího počtu vzájemně nekorelovaných proměnných. Tyto nové proměnné (hlavní komponenty) popisují
soubor syntetičtěji a úsporněji.

Redukce dimenzionality – příliš mnoho proměnných
Příklady:
• jedna meteorologická proměnná měřená v n případech na p místech
• p meteorologických proměnných měřených na n stanicích v jednom případě
• p meteorologických proměnných měřených na jedné stanici v n případech.
Je-li p proměnných vysoce korelováno, lze vybrat m proměnných (m << p), které poskytují veškerou
originální informaci o p proměnných.
Strategie výběru m proměnných:
• podsoubor z originálních p proměnných
• vytvoření nových proměnných z p původních, které jsou od nich typově odlišné (při téže ztrátě
informace lze získat větší redukci dimenzionality)

Analýza hlavních komponent
• p proměnných x1, x2, …, xp
• lineární funkce p proměnných: z = a1x1 + a2x2 + … + apxp, kde a1, a2, ..., ap jsou konstanty
• změní-li se konstanty, dostaneme odlišnou lineární funkci a lze spočítat její rozptyl
• první hlavní komponenta (PC1) je lineární funkcí, která má maximální možný rozptyl; druhá hlavní
komponenta (PC2) je lineární funkcí s maximálně možným rozptylem nekorelovatelná s PC1; třetí
hlavní komponenta PC3 je lineární funkcí s maximálně možným rozptylem nekorelovatelná s PC1 a PC2,
atd.
• PCA nabízí m-dimenzionální prezentaci údajů pro m = 1, 2, …, p – 1, tedy pro každé m = 1, 2, …, p
– 1 dostáváme m lineárních funkcí proměnných x1, x2, …, xp ukazující maximálně možný podíl
originálních variací

img132 img133
Příklad (dvourozměrný):
• 50 měření teploty půdy (x1) a teploty vzduchu (x2)
• lineární funkce x1 a x2 objasňuje více kolísání než každá proměnná samostatně
• lineární funkce, která maximalizuje rozptyl, je první PC – z1, tj. všechna kolísání mohou být
nyní vyjádřena s ohledem na z1
• obrázky se shodují s tím, že došlo k rotaci os – druhá PC (z2) jde pak kolmo na z1
• PC minimalizuje sumu čtverců podle vzdáleností kolmých k z1 (předchozí podle vertikálních
vzdáleností)

Vlastní hodnoty a vlastní vektory (eigenvalues and eigenvectors)
• k-tá hlavní komponenta je dána vztahem zk = ak1x1 + ak2x2 + … + akpxp pro k = 1, 2, …, p
• vlastní vektory: první vlastní vektor – koeficienty a11, a12, …, a1p; další vlastní vektory jsou
tvořeny koeficienty u proměnných x1, x2, …, xp
• vlastní hodnota – rozptyl první hlavní komponenty (míra významnosti objasněných kolísání), atd.
Vstupní matice výpočtu a standardizace hodnot
• standardizací se přisuzuje proměnným stejná váha (např. proměnné v různých jednotkách)
vstupdatamat

Příklad – typický výstup PCA (I)
PCA_pri_1
• pořadové číslo nové proměnné (PC - hlavní komponenty)
• vlastní hodnota – část z celkového rozptylu původních dat vysvětlená každou z nových komponent
• procentuální vyjádření množství rozptylu vysvětleného komponentou
• kumulativní hodnota procentuálního podílu vysvětleného příslušnými komponentami (např. první 4
komponenty vysvětlují 85,68  % celkové variability původních dat)
• tzv. sutinový graf sloužící k určení počtu významných komponent

Příklad – typický výstup PCA (II)
PCA_pri_2
Tzv. zátěže (loadings) - představují míru korelace mezi původními a novými proměnnými.

A010805_MAX_SLOUPY_V
Objektivní klasifikace cirkulačních typů ve dnech s vichřicemi
• 98 dnů s vichřicemi z 20. století
• Každý případ vichřice charakterizován 121 body s hodnotou popisující přízemní pole tlaku vzduchu
• Vstupní matice o rozměru 98 sloupců (proměnných) a 121 řádků (případů)
• Jakým způsobem popsat typické a společné rysy cirkulace ve dnech s vichřicemi?
(P. Dobrovolný)

body
121 bodů popisujících pole tlaku vzduchu


PCA_INter5
Rozložení tlaku vzduchu v konkrétní den


Vstup_PCA
Vstupní datová matice – řádky: dny s vichřicí, sloupce: body (z.š/z.d)


Vystup_PCA
Výstupní matice komponentních skóre – řádky: dny s vichřicí, sloupce: body (z.š/z.d)


PC_1 PC_2 PC_3 PC_4 PC_5 PC_6 PC_7 PC_8
Pole přízemního tlaku vzduchu
hlavní komponenty

Vystup_PCA_1
Vypočtené hlavní komponenty, jejich vlastní čísla a procento vysvětlující rozptyl původních dat


PC_typ1 PC_typ2 PC_typ3
… a jejich interpretace jako hlavních cirkulačních typů
cirkulační typy

Fig_2
Komponentní skóre první hlavní komponenty pole přízemního tlaku vzduchu ve dnech D-5 až D
vypočítané metodou hlavních komponent pro 37 povodní (1881-2000) zimního synoptického typu na řece
Vltavě v Praze (v závorce objasněný rozptyl v %) (Brázdil et al., 2005)
Meteorologické příčiny povodní

Fig_3
Komponentní skóre první hlavní komponenty pole přízemního tlaku vzduchu ve dnech D-3 až D
vypočítané metodou hlavních komponent pro 40 povodní (1896-2000) letního synoptického typu na řece
Odře v Bohumíně (v závorce objasněný rozptyl v %) (Brázdil et al., 2005)

Doporučená literatura:
Brázdil, R. (1991): Kolísání vybraných meteorologických prvků ve střední Evropě v období
přístrojových pozorování. Národní klimatický program ČSFR, sv. 2, Praha, 56 s.
Brázdil, R., Bělínová, M., Dobrovolný, P., Mikšovský, J., Pišoft, P., Řezníčková, L., Štěpánek, P.,
Valášek, H., Zahradníček, P. (2012): Temperature and Precipitation Fluctuations in the Czech Lands
During the Instrumental Period. Masaryk University, Brno, 236 s.
Mudelsee, M. (2014): Climate Time Series Analysis. Classical Statistical and Bootstrap Methods.
Springer, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London, 454 s.
Pišoft, P., Kalvová, J. (2005): Wavelet analýza v meteorologii: teorie a přehled dosavadních
výsledků. Meteorologické zprávy, 58, č. 1, s. 1-6.
Schönwiese, C.-D. (1985): Praktische Statistik für Meteorologen und Geowissenschaftler. Gebrüder
Borntraeger, Berlin, Stuttgart, 231 s.
Storch, H. von, Zwiers, F. W. (1999): Statistical Analysis in Climate Research. Cambridge
University Press, Cambridge, 484 s.