Gaussovo zobrazení, zobrazení UTM Matematická kartografie 1. Základní charakteristiky zobrazení 2. Zobrazovací rovnice 3. Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím 4. Meridiánová konvergence 5. Zákony zkreslení 6. Mezipásmové transformace 1 ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY ZOBRAZENÍ 3 Základní charakteristiky zobrazeni Dosud spíše teorie, i když některá uvedená zobrazení se reálně používají. Ta nejpoužívanější ale uvedena nebyla. Který z dříve zmíněných typů je Gaussovo zobrazení? REFERENČNÍ PLOCHA ZOBRAZOVACÍ ROVINA ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI POLÁRNI SOUŘADNICE PRAVOÚHLE SOUŘADNICE Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny. Nej kratší cesta -neznamená to ale, že je odvození jednodušší. • Někdy nazýváno též Gauss-Krúgerovo. • Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny. • Bez použití referenční koule. U, V, R tedy ve vzorcích nenajdeme. • Matematicky definováno. • Přibližná geometrická představa: postupné zobrazování plochy elipsoidu na „soustavu válců" v rovníkové poloze. válec i 5 Základní charakteristiky zobrazení • Používá se pro řadu státních mapových děl včetně vojenských. • Může být použito s různými elipsoidy - Besselův, Krasovského... • Může být použito s různými šířkami pásů - 6° (1:25000 a menší měřítka), 3° (pro větší měřítka). Čím užší pás, tím menší zkreslení. • Na českých vojenských Topografických mapách (systém S-1942) nahrazeno od roku 2006 zobrazením UTM (systém WGS 84). • UTM je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení. Základní charakteristiky zobrazení Pokrytí Země šestistupňovými pásy Gaussova zobrazení. Každý pás je vlastně samostatným zobrazením. 1803 156°W 132°W 108°W 84°W 66°W 48°W 30°W 12°W 6°E 245E 42°E 60°E 78°E 96°E 1143E 138DE 162DE 180° -I I 1 I 1 I I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I 1 I I I I I I I I I I I 1 I I I I 1803 156°W 132°W 108 Základní charakteristi Gaussovo UTM 84°30' eni Každý pás má samostatnou soustavu rovinných souřadnic. Osa x nahoru, osa y doprava. UTM používá osy N a E. Počátek se posouvá o 500 km na západ. K souřadnici Y se přičte 500000 metrů. Když je potřeba zobrazit jižní polokouli, tak UTM posouvá počátek i na jih - o 10000 km. U Gaussova zobrazení se zobrazuje i 90° z.š., v UTM ne. 8 Základní charakteristiky zobrazeni Pásy jsou číslovány arabskými číslicemi: • od Greenwichského poledníku směrem na východ (Gaussovo) • od poledníku 180° opět východním směrem (UTM). Čísla pásů se používají jako: • součást jedné ze souřadnic (souřadnice Y v S-1942) • V S-1942 na území ČR souřadnice Y začínají buďto cifrou 3 nebo 4 -číslo poledníkového pásu počítáno od Greenwich. - Př. Y = -123 700 m (západně od osového poledníku) ve 4. pásu - Přičte se 500 000 => 376 300 - Přidá se číslo pásu => 4 376 300 m • součást lokalizačního kódu v systému MGRS • V systému WGS84 se u bodů může uvádět kód zóny o rozměrech 6° krát 8° vycházející se systému MGRS. • Území ČR pokrývají zóny 33U a 34U. Základní charakteristiky zobrazení Neplést! WGS84 - souřadnicový systém, definovaný na elipsoidu WGS84, který používá kartografické zobrazení UTM 33N. A co datum? 10 Základní charakteristiky zobrazeni Military Grid Reference System • Rovinný systém souřadnic užívaný v NATO. Není přímo součástí definice UTM, ale využívá z UTM rozdělení pásů po 6° zeměpisné délky • Svět pokryt pásy ve směru západ-východ označených 01-60 . Jeden pás má 6°. • Svět pokryt pásy ve směru jih-sever. Většina pásů má 8°. 20 pásů označených C-X. Písmena I a O vynechána kvůli podobnosti s čísly N je první pás severní polokoule. • Průnik pásů tvoří tzv. zónu. Např. 33U, 4Q apod. Na území ČR se nacházejí zóny 33U a 34U UTM 33N tedy není název zóny MGRS! 11 Základní charakteristiky zobrazeni Military Grid Reference System ge------ Hi..,**.. 4*m-*> ÍSQQE IBfflTT' a lllQCaBEi^Hl^sllllll!!lll thdjdds rinnnnsBBCic;^ U li Iii JUX J Mit A ■ 111 k if I - ■■aiijujď&^iiii I 12 Základní charakteristi Jak dlouhý je 1 °z.d. na rovníku? 111,... km Minimální a maximální hodnoty souřadnic v jednom pásu eni

é \ • * 4 0 8S N / A ■rj x ■ / \i ■r.y 10000 9500 <»J0 8500 B0O0 7500 7000 6500 6000 5500 5000 4500 V. X 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 n 300 ooo 2000 2500 -3000 -3500 -4000 -4500 -5000 -5500 -6000 -6500 -7000 -7500 -8000 -8500 -9000 -9500 -10000 Osový poledník (střední poledník pásu) a rovník se zobrazují jako navzájem kolmé přímky. Ostatní poledníky a rovnoběžky jsou křivky k nim symetrické. Jejich zakřivení lze spočítat - vzorce v učebnici. -1500 -500 0 50010001500 14 Universal Transverse Mercator je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení s upraveným zkreslením. Dříve se používalo i s jinými elipsoidy, dnes se používá elipsoid WGS84. Používá se pro území od 84° severní zeměpisné šířky po 80° jižní zeměpisné šířky. Neplést s jednoduchým konformním válcovým zobrazením nazývaným Mercatorovo zobrazení! Pro polární oblasti se používá zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic). Je to konformní azimutální zobrazení - viz stereografická projekce. UPS je ale modifikováno pro použití z elipsoidu, ne z koule. stereografická projekce UTM a UPS ZOBRAZOVACÍ ROVNICE 18 Zobrazovací rovnice • Zobrazovací rovnice jsou platné pro libovolný poledníkový pás s libovolnou šířkou a pro libovolný elipsoid. • Osový poledník bude mít hodnotu Xo = 0°, obecná zeměpisná délka bude vztahována k tomuto osovému poledníku. z elipsoidu do roviny: zem. šířka nahrazena izometrickou: x = f((p,Á) x = f(q,Á) Jaký je to typ zobrazení? y = f{(p,X) y = f(q,A) zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení pomocí izometrických souřadnic: x + iy = f(q + iX) x-iy = f(q-iX) rovnice se rozvine v Taylorovu řadu a odvodí se obecné zobrazovací rovnice: y = f'(qn-f"'(q)^ + r (q)~- o 120 ^^^^^^^^^^^ Zobrazovací rovnice ^^^^ • Jde o konformní zobrazení. • Navíc stanovena podmínka, že osový poledník zůstane nezkreslený. Pro bod ležící na osovém poledníku (A = 0°) platí: Xn = /(Í5 ÍSt2+t4+Í4r/2 5Sr/2t2) Á v ;120 f]=ercos

sin q> — + Nel sin q> cos3 (p{5 -t2+ 9r?2 + 4t/4 ) A4 + Nel sin #?cos5 (p(61 -58ŕ2 + ŕ + 27O772 - 330ľ]2ŕ) A6 E = mľ Nel cos + Nel cos3 p(l - ŕ2 + if )— 6 + Nel cos5 ^(5 - 18ř2 + ŕ + 14t;2 -58t;Y) ^5 120 /; = e coscp Nei - příčný poloměr křivosti elipsoidu 720 Central meridian so:s Imaginary secant cylinder 3 INVERZNÍ FUNKCE K ZOBRAZOVACÍM ROVNICÍM Inverzní funkce k zobra; rovnicím q> = (p f--~-1 f + ^ 2m20MfNelf f Pro výpočet zeměpisných souřadnic z rovinných Gaussovo zobrazení q> = q>f y y 2MfNf tf + 2AMfN fiyf fiyf tf(l + 3t2f +5t]2f-9t2ft]2f)+ ^——^tf (ól + 91t) + 45ŕf +1071]2 - 162ŕft]2-45ttf) 120MfNf Ä = y Nf COS (Pjr 6Nf COS (Pjr {i-t2fWf)+ 24m40MfN3elf 120 coscpf tf(l + 3t2f +5tj2. -9t2fTj2)+ (5 + 28ŕJ + 24ŕf + 6r/2 + Srj2fŕf) 120mlMfN% Á = tf(61 + 9lŕf+45tf+10lT]2f-162t2t]2f-45ŕft]2f) E E3 moNeif costpf 6m30N3elf coscpf {l-t2f + n}) + 120>mlNr5elf cos (pf (5 + 28í' + 24ŕf + 677' + %ri)t) ) zobrazení UTM poloměry křivosti elipsoidu: M _ cjX-e) N a f (l-^siri^f2' f (l-^sirf^f2, l/ Proč se v případě UTM píše Neif místo Nf? 24 4 MERIDIÁNOVÁ KONVERGENCE 25 Meridiánová konverge YVV Důsledek sbíhavosti poledníků. Hrana mapového listu kopíruje poledníky a rovnoběžky. Nesměřuje kolmo vzhůru (jako osa x), úhel se liší o meridiánovou konvergenci. • Úhel mezi rovnoběžkou s osou x (N) a obrazem zeměpisného poledníku. • Může být kladná (východní část pásu) i záporná (západní část pásu). • Potřebujeme pro převod mezi směrníkem a zeměpisným azimutem. x k cr=a-v Co je směrník a co azimut? směrník a - úhel mezi libovolným základním směrem (např. osou x) a určitým směrem azimut a - úhel mezi severním směrem a určitým směrem 26 Meridiánová konvergence vysoká přesnost: ze zeměpisných souřadnic: zjednodušený vzorec: obě zobrazení / = sin^/l + sin^cos2^(l + 3772 + 2774)— + sin^cos4^(2-ř2)— y — sirupA z rovinných souřadnic: Gaussovo zobrazení zobrazení UTM N, ' 3N f f 15N f r Nfm0 3N3fm30 tf(l + ŕf-iff-2jl;)+-$-jtf(2 + 5t5f +3ŕf) \5N]mQ Maximum meridiánové konvergence na okrajích pásů v naší zeměpisné šířce: 2°18\ Pozor. V učebnici je na str. 129 na obr. 10-9 přehozeno dy a dx. 27 Meridianová konvergence q Branka 1 km CO CN! 3 21 ooom E 22 23 2 7*52 000m E y} 28 ZÁKONY ZKRESLENÍ 29 Zákony zkreslení V Gaussově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. Odvozeno z obecných výrazů. p M í ^„\2 í ^.\2 dx + dy M 4g \ ydAj + Ncosg? Ncosg? Výpočet ze zeměpisných souřadnic: vysoká přesnost: Gaussovo zobrazení m 1 + cos2 4 V f '2 \ m - m0 1 + V 2mlR2 j 31 Zákony zkreslení Průběh zkreslení: Gaussovo zobrazení Délkové zkreslení Gaussova zobrazení 0 10 20 30 40 50 60 70 80 84