Křovákovo zobrazení a souřadnicový systém S-JTSK Matematická kartografie 1. Základní charakteristiky zobrazení 2. Postup transformace zeměpisných souřadnic do zobrazovací roviny 3. Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím 4. Meridiánová konvergence 5. Zákony zkreslení ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY ZOBRAZENÍ 3 Základní charakteristiky zobrazení _ ":: ^^^^^^^^ • Po vzniku ČSR budovány základy nového státního mapového díla - zejména pro katastrální účely. • Ing. Josef Křovák (1884 - 1951) • V roce 1922 navrhl konformní kuželové zobrazení v obecné poloze jako součást geodetického referenčního systému jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Další soutěžní návrhy: http://old.qis.zcuxz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni soubory /cechy. html#navrhv Základní charakteristiky zobrazeni Od roku 1922 používáno jako prozatímní. Od roku 1933 do roku 1938 používáno jako definitivní. Znovu zavedeno po druhé světové válce. V padesátých a šedesátých letech 20. století se státní mapy velkých měřítek vyhotovovaly v Gaussově zobrazení s třístupňovými poledníkovými pásy. Od roku 1968 začaly probíhat práce na Základní mapě středního měřítka. Opět použito Křovákovo zobrazení. Základní charakteristiky zobrazeni Zobrazení definováno s ohledem na tvar území bývalé ČSR tak, aby minimalizovalo na tomto území délkové zkreslení. Dnes je používáno pouze v České a Slovenské republice. V současné době jsou v tomto zobrazení vydávána státní mapová díla určená pro státní správu a samosprávu (viz Nařízení vlády ČR 430/2006). Jedná se zejména o: • Katastrální mapy v měřítku 1:1000 (DKM a KMD) • Státní mapu v měřítku 1 : 5 000 • Základní mapy ČR 6 Základní charakteristi eni Gaussovo zobrazení šlo nejkratší cestou, Křovákovo nejdelší. Křovákovo zobrazení je dvojité zobrazení. Co to znamená? REFERENČNÍ PLOCHA cp,X -> U,V R,D\p,s) -> X,Y I polární souřadnice v rovině ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI Postup transformace: 1. Zobrazení Besselova elipsoidu na kouli 2. Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické 3. Zobrazení do roviny konformního kuželového zobrazení 4. Transformace polárních souřadnic na rovinné pravoúhlé ZOBRAZOVACÍ ROVINA POLÁRNI SOUŘADNICE PRAVOÚHLE SOUŘADNICE POSTUP TRANSFORMACE ZEMĚPISNÝCH SOUŘADNIC DO ZOBRAZOVACÍ ROVINY 8 Zobrazení Besselova elipsoidu na kouli Besselův elipsoid je zobrazen na kouli s jednou nezkreslenou rovnoběžkou cpo = 49°3Cľ, která probíhá přibližně středem území ČSR. Použito Gaussovo konformní zobrazení z elipsoidu na kouli. 11 >• v- . ./y *» TT "Ví — + 45° = jfc ^ + 45° V V J l-esmq) l + esmq) X ae 2 J V = aÁ r=6 380 703,6105 m k = 1,0034191640 a = 1,000597498372 Vysvětlení konstant a odvození vzorců viz kap. 5. Transformace země kartografické Na kouli jsou definovány kartografické souřadnice Š, D - kvůli protáhlému a mírně stočenému tvaru ČSR. Osa území - základní kartografická rovnoběžka Š0. Na ní zvolen bod A za nejvýchodnějším bodem státu. Následně je určena poloha kartografického pólu K. Základní kartografická rovnoběžka Š0 = 78°30'. Celé území ČSR leží v úzkém pásu mezi dvěma kartografickými rovnoběžkami v relativně malé vzdálenosti AŠ = 2°3ľ, což je asi 280 km. WBB 9a = AA = UK = VK = 48°15' U„ = 48°12'42,69689" 42°30' */„ = 42°31'31,41725" 59°42'42,69689" 42°31'31,41725" Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické Máme bod A na kartografické rovnoběžce Šo, jak z něj spočítat pól K? V prezentaci máme vzorce ze 2 nebo ze 3 bodů... Ing. Křovák ho určil „empiricky" - kružítkem v S0 = UA = v,= 78°30' 48°12'42",69689 42°31'31",41725 UK = 59°42'42",69689 \//c=42031'31"!41725 Kartografický pól K je obraz vrcholu kužele V. Vrchol kužele je relativně nízko Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické 90°-Ui 180°-D /D So 'x Pi/ a=90°-Uk Převod zeměpisných souřadnic na kartografické - rovnice viz kap. 1: siriiS = sint/ cos<2 + cos£/ sinacos(V-V^) . cost/ . sin D =--sin( V - Vk) COS Š 12 Transformace země kartografické mmm nic na ... . , . . . A „ p„ = 48°15' t/, = 48°12'42",69689 UK = 59°42'42",69689 Mame definovaný body A a K: ^ = 42°31'31 ",41725 VK-42°31'31",41725 i A Chernyshkovskiy 48 2500000N. 42 5000000E K Ruská federace N 59*42 00000". E 42°31 0000( X Smazat body $t> Přidat do oblíbených Sdílet * Exportovat Kde je chyba? 13 Transformace země kartografické amm fA ~ ľľ°Jŕv Souřadnice jsou měřeny od ferrského poledníku. AA= 42°30 co — 48°15' ^ J o od greenwichského poledníku Transformace země kartografické mm Ferrský poledník El Hierro [eľjero] - nejzápadnější ostrov Kanárských ostrovů Od antiky západní konec známého světa. 1634 - odsouhlasen jako základní poledník většinou Evropy Jeho souřadnice podle greenwichského poledníku? 42°30'- 24°50' = 17°40' Proč Ing. Křovák použil ferrský poledník? Ing. Křovák byl zeměměřič. Zobrazení mělo být hlavně pro katastr. V jakém zobrazení byly katastrální mapy Rakousko-Uherska? Cassini-Soldnerovo zobrazení Transverzální válcové zobrazení - není konformní! Zeměpisné délky A jsou počítány k poledníku Ferra. 15 Zobrazení do roviny konformního kuželového zobrazení Pro zobrazení referenční koule do roviny je použito Lambertovo jednoduché konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou. P = A tg (u ^ 1 -^ + 45° in J (U + 45° v J 8 ~ vzorce kuželového konformního p0 = m0RcotgU0 zobrazení s jednou nezkreslenou . TT rovnoběžkou n = smUn Z důvodů zmenšení absolutní hodnoty zkreslení se dodatečně zkresluje pomocí měřítkového faktoru m0 = 0,9999. Zmenší se tak poloměr koule. Vzniknou tak dvě nezkreslené rovnoběžky: Š1 =79°18'03" Š2 = 77°40'50M Základní rovnoběžka Šo = 78°30' Není tedy uprostřed. 16 Zobrazení do roviny konfon mního kuželového zobrazení bílili ■ zobrazovací rovnice: R,D\p,s) 1 ňo n tg + 45° R = R0 v 1 íš tg + 45° .2 J D' = nD R() = rr^rcotgSo n = smŠ{ o R0 = 1 298 039,0046 n = 0,9799247046 mn = 0,9999 o 17 Transformace polar rovinné pravoúhlé c na Lambertovo konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou kartografickou rovnoběžkou Šo. A X Obecný tvar výpočtu rovinných souřadnic pro kuželová zobrazení: x = xv - pcoss y = psin s Jenže Ing. Křovák sloučil počátky polární a pravoúhlé soustavy 18 Transformace polar rovinné pravoúhlé c na Y So=78°30' :49°30' P'L__ V / D i i i i Ir I x = RcosD' y = Rsin D' Kontrola správného pořadí souřadnic: y d' sin S0 Výpočet zeměpisné šířky se provádí v iteracích - cp je na obou stranách rovnice: q>® = 2\ arctan 1 ( íu ..Wi + ď sin ae tan v — + 45° v2 JJ v 1- ď sin U J a -45° Vypočítaná zeměpisná délka je od poledníku Ferra. ae 2 J a -45' kde i = 1,2... Tři iterace většinou stačí. 23 4 MERIDIÁNOVÁ KONVERGENCE 24 ■■m Meridiánová konvergen Úhel mezi rovnoběžkou s osou x a obrazem místního zeměpisného poledníku. Směr osy x na mapě není totožný se směrem sever-jih. v rovine: y = U-v na kouli: a=90°-Ux D' - polární souřadnice bodu (směrník) viz dříve - vzorce pro inverzní funkce v - úhel mezi obrazem zeměpisného a kartografického poledníku (azimut) - v konformním zobrazení se nezmění. Lze ho tedy spočítat na kouli: sin a . ^ srna sin v =-sin d = cosU cos Š sm(vk-V) A dosadit do rovnice v rovině. 25 Meridiánová Varianta, když není nutná vysoká přesnost (jako i u Gaussova zobrazení): y = sin (pA X\e odečítána od poledníku Xk = 42°30' východně Ferra, na kterém leží bod A a kart. pól K. výpočet z rovinných pravoúhlých souřadnic: Y Y = 0. 008257 Y + 2. 373 — [km] souřadnice x, y v km Na celém území bývalého Československa konvergence má pouze záporné znaménko. Tato skutečnost je obecně známá, hodnota konvergence se proto často uvádí bez znaménka. Na území ČR konvergence dosahuje hodnot od -4°33' na východě území do -9°35' na západě. Klad mapových listů Z^^^^^^^j "2- 3. •2—n irr Zlín ^?T"-'ia,V.J r a ľ— ČESKA REPUBLIKA KLAD LISTŮ ZÁKLADNÍCH MAP STŘEDNÍCH MĚŘÍTEK 1.1 ODD ÍDC r. I. ^4 -a- - "n--' r -P' ^7 Klad mapových listů Z M • Klad listů vychází ze základního měřítka 1:200 000. • Pole map ZM200 jsou v rovině S-JTSK vymezena umělou konstrukcí pravidelně se sbíhajících čar, které velmi zhruba sledují obraz poledníků. • Klad je tedy vytvořen uměle - neodpovídá poledníkům a rovnoběžkám. • Aby mapy nešly snadno využít vojensky. • Listy ZM jsou pravidelné lichoběžníky. • Délka základny listu kolísá od 47,03 cm (horní strana nejsevernějšího listu) do 49,22 cm (dolní strana nejjižnějšího listu). • Výška libovolného listu je 38 cm. 28 ZÁKONY ZKRESLENÍ 29 Zákony zkreslení • V Křovákově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Proč? • Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. • Délkové zkreslení: • při zobrazení referenčního elipsoidu na kouli • při zobrazení koule do roviny • Zkreslení při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli v rozsahu území bývalého Československa je zanedbatelné. • Činí maximálně 0,07 mm/km v absolutní hodnotě. • V běžných výpočtech se neuvažuje. • Zkreslení při zobrazení referenční koule do zobrazovací roviny kuželového zobrazení má v případě Křovákova zobrazení tvar: nR m =-- r sin S 30 Zákony zkreslení Šikmé zobrazení, kartografické rovnoběžky a poledníky... Jaký tvar mají zeměpisné poledníky a rovnoběžky? • Složité křivky. • Na území ČSR je však možné je nahradit přímkami a soustřednými kružnicemi. 31 1?* 13° 14* 15° 16' W° 18" 19° ?0° ?1° 77' Zákony zkreslení • Nezkreslené rovnoběžky jsou vzdálené od základní rovnoběžky 89 km na sever a 91 km na jih. • Základní kartografická rovnoběžka tedy není uprostřed mezi nimi. • Ekvideformáty mají tvar kartografických rovnoběžek. • Na základní kartografické rovnoběžce je zkreslení -10 cm/km, na severních a jižních výběžcích republiky je dosaženo hodnot 14 cm/km. • Nepoužitelné pro jiná území. Rychle roste zkreslení. 32 1?* 13° 14* 15° 16' W° 18" 19° ?0° ?1° 77' Zákony zkreslení Snaha minimalizovat délkové zkreslení: • kužel v normální poloze: pás široký 3°20', 400 km, zkreslení 40 cm/km • kužel v obecné poloze: užší pás 2°30', 280 km, zkreslení 24 cm/km • použití multiplikační konstanty k=0,9999: snížení délkového zkreslení na 14 cm/km u okraje pásu, -10 cm/km na rovnoběžce šo. 14 cm/km m=1 . -10 cm/km \ \ 40 cm/km 3° 20 40 cm/km 24 cm/km