Matematická kartografie 1. Pojem zkreslení 2. Délkové zkreslení 3. Úhlové zkreslení 4. Plošné zkreslení 5. Zákony zkreslení při použití polárních souřadnic 6. Vizualizace zkreslení 1 POJEM ZKRESLENÍ 3 Pojem zkreslení_||^|_ • rovinný obraz referenční plochy je vždy zkreslen • obecně jsou deformovány jak vzájemné polohy bodů, tak tvary (křivosti) čar • zkreslení (distortion) roste se zvětšujícím se rozsahem zobrazovaného území, pokud je zobrazováno do roviny jako celek • některé charakteristiky zkreslení jsou společné pro celou skupinu zobrazení • při odvozování jednotlivých zobrazení se uvažují požadavky na průběh a celkový charakter zkreslení rovinného obrazu • základní odvození vždy pro pólovou polohu z referenčního elipsoidu • případ při použití koule se odvodí následně • v případě jiné než pólové polohy se dosazují kartografické souřadnice 4 DÉLKOVÉ ZKRESLENÍ 5 Délkové zkreslení ^^^^^^ • základní posuzované zkreslení - z něj se odvozují ostatní • délkové zkreslení souvisí s měřítkem zobrazeného území na mapě • Co je měřítko mapy? Poměr délky na mapě a ve skutečnosti. • je uváděno jako konstantní pro celou mapu • jedná se však pouze o hlavní měřítko, které je vztaženo k určité poloze nebo k určitým směrům Přesněji: Poměr zmenšení nezkreslené délky v mapě k odpovídající délce ve skutečnosti. 6 Délkové zkreslení ^^^^^^ 7 Délkové zkreslení ^^^^^^ • skutečné měřítko v určitém místě závisí na délkovém zkreslení m • hodnota m se většinou blíží k 1 • m > 1 - zobrazení prodlužuje délky • m < 1 - zobrazení zkracuje délky „Ekvidistantní zobrazení nezkresluje délky." Každé zobrazení zkresluje aspoň nějaké délky. Délkové zkreslení je poměr nekonečně malé délky v obraze a originále. Proto se při odvození používá element mezi „diferenciálně blízkými body P a Q". 8 Délkové zkreslení ^^^^^^S délkový element v zobrazovací rovině / délkový element na referenční ploše zeměpisný (geodetický) azimut elementu je A (na ploše) nebo A' (v rovině) CL, (P+d

'-a> zkreslení úhlu Q2 Q'2 Acd = (A'2-A\)-(A2-A1) = (A'2-A2)-{A\-Al) = AA2 - AAj AA = A'—A zkreslení azimutu rovinný obraz zeměpisného poledníku A a libovolného směru s, jehož azimut v zobrazovací rovině je A' a směrník je o' A = \%0°-(ďp-ď) tgX=-tg{ďp-ď) tgď-tgď tgA = \ + tgďptgď "* y Pro určení azimutu je tedy nutné stanovit tangenty směrníků. 17 Uhlové zkreslení g i A' / S ^Q' \ j dx^<\. \ CT p-CT y , dx — dcp + — dA ,_ dcp dA t^ NcoscpdX | dp = MNcos cpdcpd'A mPi = dP_ dp vzorec plochy kosodélníku: dP = mpmľ MN cos cpdcpdÄ sin A/ mpl = mpmľ sin A/ 23 Plošné zkreslení dp -Tľds dP = Tundsmuds a mpl = mamb 24 ZÁKONY ZKRESLENI PRI POUŽITÍ POLÁRNÍCH SOUŘADNIC 25 Zákony zkreslení souřadnic lárních Doposud vše na základě rovnic: x = f( xv —> cp -> p -> (p -> X —> s —> cp -> X -> x —» s —> cp -> X /(M) x = xv - pcoss y = psin s Změní se Gaussovy symboly, jinak zůstanou vzorce zkreslení stejné. E = ( dx,. v dep + J ds psin s--coss V dep dp d(p dx. J dp dep \dcp) + + P 2{ds}2 Kdcpj F = f ds psm s--cos s H = V ( dX dp ~ďx J dxv dp dp 2 —- + — — + p-- dp sin s V dX + pcoss ds ďx J dep dep dX dep dX dxv (d p ds dp ds G = dep \dX dep dep dXy P (ds\ ydXj 26 Zákony zkreslení př souřadnic na koul lárních Změní se Gaussovy symboly, jinak zůstanou vzorce zkreslení stejné. lety F= v črycř/ oř/oř7 ŕ cř/čF 04 ZUJ3* WJ .op. \ P 27 6 VIZUALIZACE ZKRESLENÍ 28 • charakter průběhu zkreslení je možné vizualizovat pomocí čar stejných hodnot zkreslení, tzv. ekvideformát • ekvideformáty mohou být konstruovány pro průběh všech druhů zkreslení • vzhledem ke skutečnosti, že plošné a úhlové zkreslení je možné vyjádřit i pomocí délkového zkreslení m, jsou nejčastěji zobrazovány ekvideformáty délkových zkreslení (izometrické čáry) Vizualizace zkreslení • Zkreslení se nejvíce mění v kolmém směru na směr ekvideformát. • U jednoduchých zobrazení jsou ekvideformáty totožné s obrazem rovnoběžek - zeměpisných nebo kartografických. • U nepravých a obecných zobrazení je tvar ekvideformát složitější. Vizualizace zkresle vyjádření zkreslení číslem - poměrovou formou poměrová forma délkového zkreslení: v = m -1 m poměrová forma plošného zkreslení: Při m = 1 by tedy bylo vm= 0. Zkreslení není. Při mp| = 1 není zkreslení, v = 0% 31 Vizualizace zkreslení elipsy zkreslení (Tissotovy indikatrix) zobrazené v uzlových bodech zeměpisné sítě: • velikosti délkového zkreslení, • orientace hlavních paprsků zkreslení vůči obrazu poledníků a rovnoběžek, • plošné zkreslení. 32