Teorie zobrazení Matematická kartografie Osnova 1. Východiska 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 2 VÝCHODISKA 3 1 Východiska • minule – zákony zkreslení • možnost matematicky definovat zobrazení – stanovení počátečních podmínek • odvození jednotlivých typů zobrazení: • ekvidistantní • ekvivalentní • konformní • základní odvození vždy pro pólovou polohu z referenčního elipsoidu • případ při použití koule se odvodí následně • v případě jiné než pólové polohy se dosazují kartografické souřadnice 4 EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ 5 2 Ekvidistantní zobrazení • požadavek nezkreslení délek nějaké soustavy čar • matematicky vyjádřeno pomocí: • základních vzorců pro délkové zkreslení • Gaussových symbolů ds dS m  1pm 1 Md dSp 1 RdU dSp 2 1 ME M E  2 1 RE R E  M E mp  Mddsp  6 • základ – délkové zkreslení • ekvidistantní zobrazení v polednících Ekvidistantní zobrazení 1rm 1 cos  dN dSr 1 cos  UdVR dSr   22 cos1 cos NG N G  URG UR G 22 cos1 cos  cosN G mr  dNdsr cos 7 • ekvidistantnost v jiných soustavách čar • šikmá poloha • kartografické souřadnice Š a D • ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách EKVIVALENTNÍ ZOBRAZENÍ 8 3 Ekvivalentní zobrazení • nezkreslené nebo konstantně zkreslené plochy 1plm 1´sin rrp Amm 1rpmm   cos1 cos MNH MN H  URH UR H cos1 cos 2 2  9 • jednoduchá zobrazení • obecný vzorec je zjednodušený pro A’r=90° • nepravá a obecná zobrazení • zpravidla Gaussovy symboly KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ 10 4 Konformní zobrazení • Nezkreslují se úhly – přesněji v diferenciálním okolí. 0 ab ab mm mm     2 sin  ba mm z toho plyne: ba mm z toho také plyne: 11 • Kružnice zůstane kružnicí – nezkreslí se na elipsu. Konformní zobrazení AmA MN F Amm rp 22222 sin2sin cos cos   rp mm  12 • Platí tedy: • mp = mr • F = 0 • Extrémní hodnoty délkového zkreslení jsou tedy stejné. • To je možné, když délkové zkreslení je: • konstantní • nezávislé na směru azimutu délkového elementu Konformní zobrazení • podmínku lze vyjádřit i pomocí Gaussových koeficientů  22 2 coscos N M G E N G M E  UG E UR G R E 2 cos 1 cos  13 rp mm  • definice zobrazení pomocí Gaussových koeficientů a zeměpisných souřadnic • na elipsoidu • na kouli Konformní zobrazení • Obecné zobrazovací rovnice konformního zobrazení pomocí izometrických souřadnic:  iqfiyx   iqfiyx  • Konformní zobrazení je definováno pomocí izometrických souřadnic. • q = izometrická šířka na elipsoidu • Q = izometrická šířka na kouli 14 15 Konformní zobrazení geodetické čáry • Geodézie – měření pomocí trigonometrických sítí. • Strany trojúhelníků trigonometrických sítí jsou geodetickými čarami: • Koule – součásti hlavních kružnic • Referenční elipsoid – části geodetických čar • Většina úloh praktické geodézie je řešena v rovině konformního zobrazení. • Úhly se měří nejpřesněji. Ne tak úplně! • Převod trojúhelníku z koule do roviny. • Z více než 180° bude jen 180° – dojde ke zkreslení úhlů! 16 Konformní zobrazení geodetické čáry Konformní zobrazení nezkresluje úhly? • To platí i v případě ekvidistantního nebo ekvivalentního zobrazení. • Tam by ale navíc došlo i ke zkreslení délky kvůli zobrazení. • Proto se v geodézii používá konformní zobrazení, aby se řešilo méně korekcí. Proč se tedy tolik používá? Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení • Pro výpočty v geodetické praxi je nutné znát: • tvar geodetické čáry – především na jejím počátečním a koncovém bodě • délku jejího obrazu. • Tyto vlastnosti lze určit pomocí výpočtů tzv. směrové a délkové korekce geodetické čáry. • Viz skripta. 17 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení dT dm m 1  • m - délkové zkreslení • dm/dT - změna zkreslení ve směru kolmém ke geodetické čáře křivost 18 • geodetická čára vedena kolmo k ekvideformátám: • směr kolmý na geod. čáru je rovnoběžný s ekvideformátami • dm/dT = 0 • obraz bude přímka • geodetická čára ve směru ekvideformát • směr kolmý na geod. čáru je kolmý na ekvideformáty • dm/dT = max • křivost čáry bude maximální geodetické čáry na Google Maps 19 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení