Matematická kartografie Dnes používaná poměrně často. Už to vypadalo, že ztrácejí význam. 1) Webové mapy. Umožňují zobrazit Zemi na nekonečný pás. Např. Mapy.cz nebo Google Maps. 2) Pravidelná ortogonální síť se hodí např. u rastrových dat, pro tvorbu kladu mapových listů apod. 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Šikmá poloha válcového zobrazení 1 ZÁKLADNÍ VZTAHY A VZORCE 4 Základní vztahy a vzorce <7 x = f(U) y = f (V) Z elipsoidu či koule do roviny. Častěji koule - ve vzorcích U, V, R. V případě použití elipsoidu? V případě kartografických souřadnic? Vzdálenost mezi obrazy poledníků je (při konstantním rozdílu V) konstantní. y = nV n - konstanta, upřesnění později * Y Vzorce dle zvyklostí matematické kartografie = x směřuje nahoru a y doprava. Počátek souřadnic bývá na rovníku a hlavní poledník se určuje tak, aby byl uprostřed mapového obrazu. 5 Základní vztahy a vzorce^^^^^^'- • Podobně jako všechna jednoduchá zobrazení - úhel mezi rovnoběžkou a poledníkem je vždy 90°. • Obrazy poledníků a rovnoběžek tvoří vzájemně ortogonální soustavu rovnoběžných přímek, ve kterých leží směry hlavních paprsků zkreslení. • Platí to pro zeměpisnou síť (pólová poloha) nebo kartografické poledníky a rovnoběžky (příčná či obecná poloha). • Obraz pólu: musel by být úsečka, nezobrazí se. 6 Základní vztahy a vzorce <7 q q>+dq> dx p RdU p | NcoscpdX Ä- X+dX mr = dy RcosUdV dosazení n mr =- V = n V RcosU pi p r . Afô> mr-m sin - 2 mr+mp Rovnice zkreslení jsou funkcemi U a x, V nemá vliv. Ekvideformáty budou přímky rovnoběžné s osou y (= rovnoběžka). Hlavní paprsky zkreslení leží v obrazu rovnoběžek a poledníků. 7 Základní vztahy a vzorce <7 x = f(U) y = nV Rovnice zobrazovací závisí na hodnotě konstanty n a tvaru funkce x=f(U) Pro n potřebujeme určit, zda se bude nezkreslovat rovník nebo nějaká jiná rovnoběžka. Uo se nezkresluje: n =1 pro rovník: pro jinou rovnoběžku: m = RcosU, z toho plyne: n — R n - RcosU o 0 Je li nezkreslena jiná rovnoběžka než rovník, tak se změní obraz zeměpisné sítě. Jak? Obraz se zúží. Proč? Nezkreslená rovnoběžka je kratší než rovník a rovník se tak zkrátí. J 8 EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ 9 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: dx p RdU u 1 dx = RdU jdx = RJdU X = RU o o 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: y = nV Lze odvodit zobrazení ekvidistantní v rovnoběžkách? Jednoduché válcové zobrazení může být ekvidistantní pouze v polednících. Proč? Nelze pro rovnoběžky, každá je jinak dlouhá. Mohu jen vybrat rovnoběžku, která se nezkreslí. 10 Ekvidistantní zobrazeni^^^^ y = nV Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: • n se určí podle nezkreslené rovnoběžky/rovnoběžek: • pro obecnou rovnoběžku - síť bude obdélníková • pro rovník (cos 90°) - síť bude čtvercová rovnice zkreslení: = 1 p n = mPi " RcosU • Aa> n- RcosU sin _ - 2 n + RcosU n = RcosU{ n = R ii Nezkreslený rovník = čtvercová síť - čtvercová mapa • Nazýváno též Plate Carrée nebo Marinovo 12 30" 20' 10" 0* 10" 20" 30" »0" 50" SO" 70" Ekvidistantní válcové zobrazení U0=20° m 1,25 1,2 1,15 1,1 1,05 1 0,95 0,9 ■ mp ■ mr -40 -30 -20 -10 0 U 10 20 30 40 n = RcosU, o Nezkreslená jiná rovnoběžka/rovnoběžky (např. Uo=+-20°) - obdélníková síť. 13 EKVIVALENTNÍ ZOBRAZENÍ 14 Ekvivalentní zobrazení ||^|_ 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: mPl = mPmr = 1 dx n RdU RcosU = 1 \dx = — f cosUdU J n J 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: rovnice zkreslení: 1 RcosU mp = m, n mpl=\ Aú) n2-R2 cos2 u Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: n se určí podle nezkreslené rovnoběžky: • pro obecnou rovnoběžku n = RcosU • pro rovník n = R Ekvivalentní zobrazení ||^|_ • Jakmile roste zkreslení v rovnoběžkách, tak klesá v polednících a naopak. • Vlastností ekvivalentního válcového zobrazení je zmenšující se vzdálenost rovnoběžek s rostoucí zeměpisnou šířkou. Proč? • Zobrazení Lambertovo - s nezkresleným rovníkem. ie Ekvivalentní zobrazení ||^|_ Zobrazení Lambertovo - s nezkresleným rovníkem. Stejné zobrazení se dá odvodit i geometricky. Poté se nazývá Ortografická válcová projekce. Střed promítání v nekonečnu. O většině projekcí se budeme učit v rámci azimutálních zobrazení. n = R x = R sin u y = Rv 17 Ekvivalentní zobrazení Zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami - Behrmannovo. 18 4 KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ 19 Konformní zobrazení Zachovává tvary a úhly, ale jen v diferenciálním okolí bodu 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: dx n r , Ur dU RdU RcosU ^dx = cosU 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: y = nV rovnice zkreslení: m = n RcosU mPi = m2 Aa> = 0 Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: n se určí podle nezkreslené rovnoběžky: • pro obecnou rovnoběžku n = RcosU0 • pro rovník n = R 20 Konformní zobrazení 50!_áDľ_ar_2£C_10!_Q r ;_12!_20!!_20!_iSt_50!_SJľ_ZO!_2!!_30!_10, 50* 40" 30" 20" 10- O" 10* 20* 30" 40" 50* 60* 70" 80" 90" 100" Zde 2 nezkreslené rovnoběžky. Konformní válcové zobrazení Mercatorovo, U0 = +- 20° • mp mr -40 -30 0 U 10 20 30 40 Grafy mP a mr jsou shodné. Zvětšování vzdálenosti rovnoběžek směrem k oběma pólům Nezobrazí se pól, protože tg 90° = nekonečno. Mercatorovo zobrazení (16. stol.) - doba námořních výprav. Loxodromy se zobrazují jako přímky. 21 • Mercatorovo zobrazení není UTM! Ale je základem pro UTM. • Také válcové, také konformní. • Ale z elipsoidu. • Transverse = „příčný". Pootočeno do příčné polohy. • Kartografický rovník je v poledníku, lze zvolit, který poledník bude nezkreslený. • Zobrazení vyhovuje v místě okolo daného poledníku - a asi 10 stupňů na západ a na východ. • Národní systémy jsou často založeny na tomto zobrazení. Liší se jen nastavením nezkresleného poledníku. Více o UTM později - v rámci Gaussova zobrazení. Imaginary secant cylinder • Konformní válcové zobrazení v normální (pólové) poloze s nezkresleným rovníkem. • Zpravidla z referenčního elipsoidu WGS84. • Poledníky jsou vzdálené všechny stejně. Rovnoběžky se od sebe vzdalují čím dál více. Ale to až tak nevadí. Proto se používá ve webových službách - např. Google Maps, ESRI ArcGIS Online, Mapy.cz, OSM... • Pozor, není to UTM! • Pojmenování - Web Mercator, WGS 84 Web Mercator, WGS 1984 Web Mercator (Auxiliary Sphere), Pseudo-Mercator... • Varianty je nutné rozlišovat. zobrazovací rovnice: rovnice zkreslení: a x = a ln tz — + 45° m - a cos (p a -velikost poloosy elipsoidu J 2 m Pi = m y = aA Aú) = 0 23 Konformní válcové zob webových službác = Vyhledat místo na Mapách Goo; <^ maps.google.com *0 ŠIKMÁ POLOHA VÁLCOVÉHO ZOBRAZENÍ 25 Šikmá poloha válcového z Používá se pro státní mapová díla. Švýcaři mají také vlastní šikmý systém, ale na válci, ne na kuželu. Kartografické poledníky a rovnoběžky jsou rovné, ale zeměpisné se zkroutí do křivek. Musí se určit kartografický pól - např. ze známých zeměpisných souřadnic dvou bodů ležících na kartografickém rovníku. Příklady šikmých válcových zobrazení v GIS: • Laborde Oblique Mercator projection • Hotine Oblique Mercator projection 26