Matematická kartografie
1. Základní vztahy a vzorce
2. Ekvidistantní zobrazení
3. Ekvivalentní zobrazení
4. Konformní zobrazení
5. Šikmá poloha kuželového zobrazení
1
ZÁKLADNÍ VZTAHY A VZORCE
3
Základní vztahy a vzorce
řeší se v rovinných polárních souřadnicích pas po zobrazení do roviny ještě transformace na pravoúhlé souřadnice x a y
je to jednoduché zobrazení, stále platí, že poledníky a rovnoběžky jsou vzájemně kolmé Základní poledník Vo se stanoví v ose zobrazeného území:
• ztotožňuje se s osou x
• x směřuje nahoru a y doprava
Základní rovnoběžka Uo přibližně prochází středem zobrazovaného území.
v
A x
///'//"n /////////,
jíítfákladní poledník Vo
\\ \
3J     '40°        f0'7t\%gp°     \    ™       \ SO
4
Základní vztahy a vzorce
jednoduché zobrazení - zkreslení jsou funkcemi pouze jedné proměnné -zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p
ekvideformáty tvoří soustředné kružnice se středem v počátku polárního systému V
je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu s minimální hodnotou zkreslení
obrazem pólu může být bod nebo část kružnice
kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěma nezkreslenými rovnoběžkami
zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto je možné si je geometricky představit jako tečný, resp. sečný kužel
v
* x
43
u$^ladní poledník Vo
1»
5
Základní vztahy a vzorce^^^^^^'-
p = Au) £ = f (v)
Dá se psát jako:
p = p0+f(U-U0)
Po=xv PQ  poloměr základní rovnoběžky
xv vzdálenost počátku souřadnic polárních (vrcholu V) a počátku souřadnic pravoúhlých (bod 0)
6
Základní vztahy a vzorce
Přírůstek úhlové vzdálenosti musí být konstantní s přírůstkem zem. délky:
s = nV    Konstanta n:    - rozsah od 0 do 1
- pro n = 1 přechází v azimutální zobrazení
V případě rovníkové nebo šikmé polohy se použijí kartografické souřadnice:
P = f (š)
7
Základní vztahy a vzorce
Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele).
x = xv -pcoss y - psin s
x směřuje nahoru a y doprava! Potřebujeme znát xv.
Základní vztahy a vzorce
pds
RcosUdV
délkový element v zobrazovací rovině / délkový element na referenční ploše
element poledníku v rovině / element poledníku na kouli U roste a p klesá - proto mínus.
element rovnoběžky v rovině / element rovnoběžky na kouli
ds = ndV
n =
ds dV
mr =
np
RcosU
U+dU
EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ
10
Ekvidistantní může být pouze v polednících. Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se nemění.
podmínka:
mp =1
1. zobrazovací rovnice: 2. zobrazovací rovnice:
-dp RdU
p u 1   \dp = -R\dU      p = p0-R(U-U0)
Po
np
RcosU
. Aú) np-RcosU sin-=-
2     np + RcosU
potřebujeme n,p0,R,U0
u=o°
11
Ekvidistantní zobrazení s } nezkreslenou rovnoběžkoi
Podmínka:
-na základní rovnoběžce U0 délkové zkreslení minimální
-zároveň tato rovnoběžka bude délkově nezkreslena
-Ptolemaiovo zobrazení - nejjednodušší ze všech kuželových zobrazení.
potřebujeme n,p0,R,U0
	d	( m ]	
dmr		KRcos U0J	= 0
dU '		dU	
říp,
RcosU,
= 1
Uo
Po
koule: n = smU0<r
z obrázku:
p0=RcotgU0
			rovník
			
elipsoid: n = sm<p0 p0=N0cotg(p0
Pj
12
Potřebujeme n,p0,R,U0
• Musíme určit základní (a nezkreslenou) rovnoběžku Uo.
• Ale zkreslení není symetrické - roste rychleji k pólu, na severní polokouli na sever. Uo proto není dobré dávat doprostřed mapy, ale více na sever.
• Definujeme si podmínku, že zkreslení musí být stejné na severním i jižním okraji - na rovnoběžkách Us a Uj.
mr = mr
s 'j
np, np
po dosazení zobrazovací rovnice P — Po +
f{U-U0
RcosUs RcosU
ps=p0-R(Us-U0) pj=p0-R{uj-U(í)
cost/ -U,. cosU
cotgí/o =—--7-J—-^-U(
coscy,. - cos
Rovnice se řeší v několika krocích, začíná se s: Ale finální Uo bude jiné!
13
Ekvidistantní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou
Ukázka Ptolemaiova zobrazení pro Us=70° a Uj =30°. Nezkreslená základní rovnoběžka Uo není 50°! Velké zkreslení na okrajích mapy.
m
Ptolemaiovo zobrazení délkové zkreslení
1 mp mr
30   35   40   45   50   55   60   65 70 U
14
Ekvidistantní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou
Základní rovnoběžka: U0=45° vm =
Hodnota ekvideformát v poměrové formě: mr-1 (Uo má hodnotu 0) Krok ekvideformát: 0,5
Ekvidistantní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou ^^^^
Základní rovnoběžka: U0=45°, Tissotovy indikatrix
16
Ekvidistantní zobrazení se nezkreslenými rovnoběžkami
Podmínka:
-Dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky o zeměpisných šířkách U-, aUo
-Umožní zmírnit zkreslení na okrajích mapy. -de ľlsleovo zobrazení
mrs = 1+c
m =
RcosUx
= 1
m„ =
np.
Rcos Ur
= 1
R cos Ux = n[pQ - R(UX -U0)]   RcosU2= n[p0 - R(U:
R(cos Ux - cos U2) = nR(U2 - Ux) cost/j -cosř72
-U0)]
17
Ekvidistantní zobrazení se nezkreslenými rovnoběžkami
R cos Ux = n[p0 - R(UX - U0)]
po dosazení n:
cos^-cos^       ( }]
U2~Ul
R[(U2 -U^cosU, -(U, -U0)cosU2]
Po =
cosf/j - cosi/.
de 1'lsle stanovil základní rovnoběžku a nezkreslené rovnoběžky takto:
U.+U,
u0 =
u2=
2 2 2
18
Ekvidistantní zobrazení se nezkreslenými rovnoběžkami
Ukázka použití de Tlsleova zobrazení pro Us=70° a Uj =30°.
60°        55'SS' 50'      45"    40'     70' 30'   25"  20'  15'  1CT   5'    0°    5°   10'  15* 20'  25"   30' 70'     40'     45'      50° 65°55
30" 15'
5" 10" 15" 30'
De llsleovo zobrazení délkové zkreslení
m
1,09 1,07 1,05 1,03 1,01 0,99 0,97 0,95
■mp mr
30 35  40 45 50 55 U
65 70
Nezkreslené tedy jsou? Ui=40° a U2=60°. Zkreslení na severu a jihu je odlišné.
19
Ekvidistantní zobrazení se nezkreslenými rovnoběžkami
Nezkreslené rovnoběžky: 1^=20°, U2=40°
Hodnota ekvideformát v poměrové formě: mr-1 (U1 a U2 mají hodnotu 0) Krok ekvideformát: 0,5 Vzdálenost rovnoběžek se nemění.
Ekvidistantní zobrazení s t zkreslením na severu a jih
tm.
nym
Podmínka:
-Totožné zkreslení nejsevernější a nejjižnější rovnoběžky - napr. v atlasech. -Zkreslení roste rychleji na sever než na jih, resp. k bližšímu pólu! -Neurčují se tedy předem jaké rovnoběžky jsou nezkreslené. To se spočítá. -Vitkovského zobrazení - stanovil ještě další podmínky:
•Základní rovnoběžka je uprostřed zobrazení. Není to ta s nejmenším zkreslením!
•Základní rovnoběžka má stejnou absolutní hodnotu zkreslení jako ty krajní. Neví se ale jakou hodnotu.
mr =mr
's j
u0 =
u. +u
rrir =mr, -
mr =mr = 1 + v m.. = 1 - v,„
m
vni = m -1
m
m
Délkové zkreslení vyjádřené v poměrové formě.
Vitkovského zobrazení
délkové zkreslení
■ mp mr
30  35 40 45  50 55 60 65 70 U
Ekvidistantní zobrazení s t zkreslením na severu a jih
rm
nym
1. podmínka:
's j
np,
np
j
RcosUv    RcosU.
p0 =
R[{Us-U0)CosUr(urU0)cosUs_
cosU. - cosi/.
2. podmínka:
777.. = m.. = 1 + v
772 =2--h
777.. -\-V
m
RcosU s   RcosU 0
2RcosU, cost/n = 2«= 0
Ps cosU0+p0 cosUs
22
Ekvidistantní zobrazení s totožným zkreslením na severu a jihu
Pokud potřebuji znát nezkreslené rovnoběžky Ui a U2:
m =
"Pí
f
1 RcosU, np2
m„ =
RcosU,
= 1
= 1
Po
cosUx=n ^-Ux+U{
j
cos U^-n
(a.
-U2+U0
)
Použije se metoda postupné aproximace. Pro první přiblížení se dosad
U;+Ur
^ 2
j 1 wo
2
23
Ekvidistantní zobrazení s totožným zkreslením na severu a jihu
Ukázka Vitkovského zobrazení pro Us=70° a Uj =30'
60'        55'       65'     J5'     d0a    35'       70'       20°  15'   10'   5'    0°    5'   10' 15'   20'       70'       35'    Í0'     45'     65'       55' 6CT
25- 20" 15^0- 10'
10" 30-15" 20- 25"
íTlrs=íTlrj
Vitkovského zobrazení délkové zkreslení
■ mp
■ mr
30  35 40 45  50 55 60  65 70 U
Lze spočítat: Ui = 36°55' U2 = 66°02'
24
Porovnání zobrazení
25
3
EKVIVALENTNÍ ZOBRAZENÍ
26
Vzájemné vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zmenšují. Směrem od osové rovnoběžky.
podmínka: m t =m mr =1
- cíp np
RdU RcosU
= 1
r R2 uc
pdp =--cosUdU
Po UQ
1. zobrazovací rovnice:    2. zobrazovací rovnice:
^m 2R2
^2 ^2
P =Po
n
(sin U - sin ř/0)
s - nV
mr =
np
m
RcosU
mPj=l
. Aco np2-R2cos2U sin-= ——----—
2    n2 p2+R2 cos2U
potřebujeme n,p0,R,U0
27
Podmínky:
•nezkreslená základní rovnoběžka U0
•pól se zobrazí jako bod totožný s počátkem rovinného polárního souřadnicového systému (bod = oblouk s nulovou délkou)
•Lambertovo kuželové ekvivalentní zobrazení
podmínka 1: podmínka 2: Do obecné zobrazovací rovnice
np0 se dosadí U=90° a p=0.
RcosU,
2R2
(sin U - sin U0)
n
ze soustavy podmínek vychází:
n =
•IIL*llEt
Ekvivalentní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou a pólem zobrazeným coby bod
Lambertovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkreslení
Nezkreslená základní rovnoběžka Uo se většinou volí jako střed mezi severní a jižní rovnoběžkou zobrazovaného území.
29
Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkami
Podmínky:
-Dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky o zeměpisných šířkách U-, a U2. -Základní rovnoběžka Uo je zkreslená.
-Většinou se volí jako střed mezi nezkreslenými rovnoběžkami. -Albersovo zobrazení
m,. =
m.. =
"Pí
R cos Ul RcosU^
= 1
= 1
ri
ri
Pl
2R
n
(sin^ -smU0)
= R2 cos2 Ux
Po ~ —— (sin U2 - sin U0)
n
= R2 cos2 U
n =
cos2 Ux - cos2 U2 2(sin U2 - sin Ux) 2
— (sin Ux + sin U2)
2 2R2
Po =
n
í  •    TT T T  \ R2ZOS2Ux
(sin u1 - sin uQ )-\--z-L
n
30
Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkami
Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení
• na obrázku pro Us=60° a Uj=38°
• mimo tuto oblast již zkreslení hodně narůstá
Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkreslení
1,1 1,05
m 1
0,95 0,9
■mp mr
30     35    40    45    50    55    60    65 70
U
31
Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkami
Nezkreslené rovnoběžky U1 = 20° a U2 = 40°.
Interval rovnoběžek se zmenšuje směrem od základní rovnoběžky.
4
KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ
33
Konformní zobrazení
Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zvětšují směrem od osové rovnoběžky.
podmínky:
F = 0      u jednoduchých zobrazení vždy splněno
-dp       np prdp       ur dU
mp = in.
RdU RcosU
1. zobrazovací rovnice:
Po
= -n
P
cosi/
/ tg	'u V 0 +45° v 2 )
tg	(u \ — + 45° U )
(Qo-Q)
2. zobrazovací rovnice: s-nV
při použití izometrické šířky
rovnice zkreslení
np
m -
RcosU
mpl=m
Aco = 0
potřebujeme n,p0,R,U0
34
Konformní zobrazení s jedi nezkreslenou rovnoběžkoi
• Zobrazení s jednou nezkreslenou základní rovnoběžkou.
• Ta se však zpravidla dodatečně zkresluje.
• Někdy se nazývá Lambert Conformal Conic (Single Parallel)
p0 = m0RcotgU
o
mo = délkové zkreslení základní rovnoběžky. Vždy menší než 1.
• Tím vzniká zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Ui a U2.
Znáte nějaký příklad takového zobrazení?
• Uvedený typ zobrazení je použit i při zobrazení Základních map České republiky (Křovákovo zobrazení).
• Ale v šikmé poloze.
35
Konformní zobrazení s jedi nezkreslenou rovnoběžkoi
Výpočet Ui a U2:
RcosUí "Pi
i? COS t/o
= 1
= 1
Dosadí se obecná zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení:
P = Po
tg
^ + 45°
v
J
— + 45°
tg
V
J
n = sin U     VýP0^ n jako u ekvidistantního kuželového 0   zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou
36
Konformní zobrazení se nezkreslenými rovnoběžkami
Podmínka:
-dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky U1 a U2
Lambertovo konformní kuželové zobrazení - Lambert Conformal Conic (LCC)
konstanta n - z nezkreslených rovnoběžek:
npl
RcosU,
= 1
A =
RcosU
m„ =
np:
Rcos Ur
= 1
A =
n
RcosU
n
Po
cos Ul cos
tg
^ + 45°
v
J
tg
+ 45'
v
J
Po
tg
^ + 45°
v
J
^ + 45°
tg
J
tg
^ + 45°
v
J
í
tg
+ 45'
pl cosUl p2 cosU2
n =
In cos Ui — In cos U2
lntg(^+45°) - lntg(^ + 45°)
ln cos ^ -lncos£/2
n =
Q2-Q1
37
Konformní zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami
konstanta po - ze zobrazovací rovnice
Po =
	tg		v + 45° )	- n	tg	ÍU2	+ 45° J	—
RcosUl		U		RcosU2		l 2		
n	tg		+ 45° ) _	n	tg		+ 45° )	
		v2						
nebo taky
Po =
_ RcosU,   {Qi_Qo) _ RcosU2 {Q2_Qo)
n
n
e - přirozený logaritmus
Základní rovnoběžka Uo se většinou volí uprostřed mezi nezkreslenými Ui a U2.
38
Konformní zobrazení se nezkreslenými rovnoběžkami
Lambertovo konformní kuželové zobrazení
Letecké navigační mapy ICAO a NATO.
V rámci směrnice INSPIRE využíváno pro publikaci dat -souřadnicový referenční systém (ETRS89-LCC).
Lambertovo konformní kuželové zobrazení délkové zkreslení
m
1,08 1,06 1,04 1,02 1
0,98 0,96 0,94
m
30  35  40  45  50  55  60  65 70
U
U, =40°aUo=60°
39
Konformní zobrazení se dvěnr nezkreslenými rovnoběžkami
Nezkreslené rovnoběžky U1 = 20° a U2 = 40°.
Interval rovnoběžek se zvětšuje směrem od základní rovnoběžky.
40
ŠIKMÁ POLOHA KUŽELOVÉHO ZOBRAZENÍ
41
■■m
Šikmá poloha kuželové
Území s protáhlým tvarem, ale ne ve směru rovnoběžky. Použijí se kartografické souřadnice.
Ze zeměpisných souřadnic se vypočtou kartografické souřadnice. Kartografické souřadnice se přepočítají do roviny.
p = f{š)
s = f (D)
Viz později - Křovákovo zobrazení.
42
Porovnání zobrazení
Albers        Ekvidistantní kuželové LCC (ekvivalentní) Lambert Conformal Conic