Jednoduchá azimutální zobrazení, azimutální
projekce
Matematická kartografie
1. Základní vztahy a vzorce
2. Ekvidistantní zobrazení
3. Ekvivalentní zobrazení
4. Konformní zobrazení
5. Azimutální projekce
1
ZÁKLADNÍ VZTAHY A VZORCE
3
Základní vztahy a vzorce
kuželová zobrazení: s — nV
azimutální zobrazení jsou mezní případ kuželových zobrazení, kdy konstanta n = 1
počátek polární soustavy - vrchol kužele - splyne s pólem (zeměpisným nebo kartografickým)
počátek rovinné pravoúhlé sítě -ztotožnění s obrazem pólu (středem zobrazení)
osa x (svislá) se vloží do základního poledníku
Základní vztahy a vzorce
obrazem pólu je bod
obrazem sítě poledníků jsou polopřímky z pólu
obrazem rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem v pólu
je to jednoduché zobrazení, poledníky a rovnoběžky jsou vzájemně kolmé
ekvideformáty mají tvar soustředných kružnic se středem v pólu zobrazení
Základní vztahy a vzorce
Odvozeno pro kouli, ale lze i pro elipsoid.
Odvozeno pro pólovou polohu, ale používá se i šikmá nebo rovníková:
• Obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složitými křivkami.
• Pouze poledník procházející středem zobrazovaného území, který je totožný se základním kartografickým poledníkem (a tedy i s osou X), je zobrazen jako přímka.
40"0'0"N
60'0'0"N 1CCWW 180WE
60"0'0"N 4O'0"N
90"0'0"W- '
10-0'C"S'
OWN
OWS
3ďWW 10"0'0"W  0"0'0"E   10WE 30WE 50-0'0"E   6CWE ľO'O'C'E
6
Základní vztahy a vzorce
zobrazovací rovnice v polárních souřadnicích
použití zenitové vzdálenosti Z místo U
p = f(Z)    Z = 90°-U
s = V
A X
pj
přepočet do roviny:
x = p cos s y = psin s
Základní vztahy a vzorce
Podobné jako u kuželového zobrazení, ale:
• bez konstanty n,
• se Z místo U,
• bez záporného znaménka - Z a p mají stejný směr.
rovnice zkreslení:
p
do p . Aa> mr-m
m „ = ——    mr = —-— sin-=--
RdZ       r    RsinZ   mpi=mrmP        2     mr + mp
8
EKVIDISTANTNÍ ZOBRAZENÍ
9
■■m
Ekvidistantní azimutální
asi nejběžnější ekvidistantní azimutální zobrazení - Postelovo ekvidistantní v polednících
m.
p
= dp = i podmínka
RdZ
jdp = RJdZ
o
p-RZ i zobrazovací rovnice s — V 2. zobrazovací rovnice
mp =1
mr = mpl =
sin Z
. Aú) Z -sinZ sin-=-
2     Z + sin Z
130°0'0"W 140-0'0"W 11 11
160-0'CľW      180°0'0"W 160"0'0"E
140=0'0"E 130"0'0"E II M
120'0'0'W
40'0'0"N'
100"0'0"W*
90"0'0"W
80"0'0"W
40°0'0"N'
60"0'0"W
Kde se typicky používá?
■120WE
l-4u"u'u"rj
•100"0'0"E
•90°0'0"E
:0°0'0"E
H0°0'0"N
0'0"E
II I II I        I        I        I I II I II
5ďWW       40°0'0"W 20°0'0"W        O-O'CľE 20°0'0"E 40°0'0"E 50'0'0"E
10
■■m
Ekvidistantní azimutální
Zachovává vzdálenosti od pólu k libovolnému bodu v zobrazovaném prostoru
• vzdálenosti obrazů rovnoběžek jsou stejné
• zkreslení v polednících není (mP=1)
Vhodné pro rychlé zjišťování vzdáleností od pozorovacího místa - např. displeje radiolokátorů.
Jaké je zkreslení u pólu? A jaké na 60° rovnoběžce?
11
Ekvidistantní azimutální zobrazení
Ekvidistantní azimutální zobrazení
Ekvidistantní azimutální zobrazen
Šikmá poloha zobrazení - obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složité křivky.
40"0'0"N
60°0'0"N
90 W W-
0"0'0"N«
10"0'0"S-
100'0'0"W 180°0'0"E
60"0'0"N
•120WE
•30 W N
fHOOWE
•20 "O'O" N
i-10o0'0"N
"0'0"N
•10"0'0"S
30"0'0"W
10°0'0"W   0°0'0"E 10°0'0"E
30° O'O" E
50°0'0"E   60°0'0"E 70°0'0"E
Ukázka - kartografický pól v Brně (Uk = 49°12', Vk =16°36').
14
Ekvidistantní azimutální zobrazen
varianta zobrazení:
- doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z0
- doplní se parametr c (redukční konstanta)
m.. c = 1
dosazení
Z
o
sin Z
o
p = cRZ 1. zobrazovací rovnice s — V   2. zobrazovací rovnice
Z-sin Z Z + sin Z
rovnice zkresleni:
c2Z
mpi =-
sin Z
cje konstanta, zkreslení v polednících není nulové, ale konstantn
EKVIVALENTNÍ ZOBRAZENÍ
16
Ekvivalentní azimutální zobrazení
• Ekvivalentní azimutální zobrazení - též Lambertovo.
• Lambert Azimuthal Equal Area (zkratka LAEA).
• Využíváno v rámci Evropského souřadnicové sítě Grid_ERTS_89-LAEA.
• Nezkresluje vzájemnou velikost kontinentů - používáno při zobrazování velkých územních celků na jedné mapě - napr. hemisféry.
• Kartografický pól může být umístěn kdekoliv - např. na rovníku.
• Zmenšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu
mapy.
Ekvivalentní azimutální zobrazení
rovnice zkreslení    zobrazovací rovnice
mr =
P
R sin Z
Z
p = 2R sin — 2
mr =
m.
Z
. 2R sin — 1 2
mp RsmZ
1
1
m n Z p cos—
1-cos'
Z
Ekvivalentní azimutální zobrazení																		
																		
1 o																		
																		
1,1 " m 1 -n q																		-mp -mr
																		
u,y n r																		
u,o n 7																		
u, /	0		20		30		40		50		60		70		80			
Ekvivalentní azimutální zobrazení
Zmenšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy.
Neplatí tedy, že u jednoduchých ekvivalentních zobrazení se šířka poledníkového pásu zkracuje vždy směrem k pólům nebo vždy směrem od pólů!
Vždy od středu mapy nebo od osové přímky.
ekvideformáty
Ekvivalentní azimutální zobrazení
4
KONFORMNÍ ZOBRAZENÍ
21
Konformní azimutální zobrazení
mp	= mr
dp	P
RdZ	Rún Z
rdp	C dZ
K	^ sin Z
podmínka
neurčitý integrál - protože Z a p může nabývat i hodnotu 0
\n o = \nt — + In c z^v's'® na Parametru c (integrační konstanta) 2 - musíme ho určit
Z
P = «8-
1. zobrazovací rovnice
s = V
2. zobrazovací rovnice
rovnice zkreslení:
mpl =m
Aúj = 0
22
Konformní azimutální zobrazení
Musíme zjistit parametr c.
A) doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z
Konformní azimutální zobrazení
Musíme zjistit parametr c.
B) doplňkový požadavek na nezkreslený pól Zo=0° (střed mapy) Tzv. stereografická projekce - ukázka viz dále.
m =1 c=2R
zobrazovací rovnice:
P = 2Rtg^ s = V
rovnice zkreslení: 1
m =-—      m, =m        Aco = 0
Někdy se nastavuje hodnota délkového zkreslení na pólu (měřítkový faktor) Např. při definování zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic).
24
Konformní azimutální zobrazení
Konformní azimutální zobrazení - šikmá poloha pól = U0=50°, V0=15°
Co je nezkreslené?
25
Konformní azimutální zobra;
Zvětšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy.
Tissotovy indikatrix
26
Konformní azimutální zobrazení
Konformní azimutální zobrazení
Jak odlišit kuželové v pólové poloze a azimutální v obecné poloze?
Nápověda: Poledníky.
28
AZIMUTÁLNÍ PROJEKCE
29
Azimutální projekce - princip
_Lil_^V7SO>iov^9$so^
• „Projections" = kartografická zobrazení
• „Projekce" = odvoditelné geometrickou cestou
• Projekce - odvozování rovinných souřadnic na základě geometrických principů.
• Projekce povrchu referenční koule na zobrazovací rovinu.
• Existují i válcové a kuželové projekce. Ale používají se méně.
Azimutální projekce - princip
podobné trojúhelníky:
p   _    C + R 7?sinZ   C + /?cosZ
_(C + R)RsmZ p ~ —ň-V~ 1 ■ zobrazovací rovnice
C - odlišuje různé verze projekcí
s = V
2. zobrazovací rovnice
Obecné zákony zkreslení jako u jiných azimutálních zobrazení.
dp
p RdZ
m. =
P
R sin Z
mPl = mrmP
sin
2     m.. + m..
Gnómonická p roj e t^^^^^^^^^
Gnómonická (centrální) projekce vzniká pň promítání ze středu koule.
C = 0
lze zobrazit jen jednu polokouli nejde zobrazit rovník ortodromy se zobrazují jako přímky Thales z Milétu
dosazení C do zobrazovací rovnice:
p = RtgZ
s = V
dosazení p do rovnice zkreslení:
1
m =
p
2 ry
cos Z
sin
Ad)    cosZ — 1     .  Áa>      2 ^
— =- sin-= íe —
2     cosZ + 1 2 2
Všimli jste si na vzorcích zkreslení něčeho? Není délkojevné, úhlojevné ani plochojevné.
32
Gnómonická projekce ^/
Ve skutečnosti jde zobrazit i rovník - při správně nastavené polokouli, pólová poloha - rovnoběžky soustředné kružnice, poledníky polopřímky rovníková poloha - poledníky jsou rovnoběžné úsečky, rovnoběžky jsou hyperboly se středem na rovníku. 3v
Gnómonická projekce ^^^^^w
obecná poloha - poledníky úsečky, rovnoběžky hyperboly, elipsy, paraboly
34
Tissotovy indikatrix <20°,90°>
35
Stereografická projekce ||^'_
Stereografická projekce vzniká při promítání z protějšího pólu koule.
• C = R
• projekce je konformním azimutálním zobrazením - viz dříve
• vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zvětšují směrem od středu mapy
• Hipparchos z Nikaie
P' P Ps
\ s— \ s pX / \ / \ / \ / \	R \ RcosZ \ 0 rovník ]	
\ \		k i
\ \		
\ \		
\ \		c /
\ \		
v *		
		
dosazení C do zobrazovací rovnice:
2R sin Z   ^ ^ Z
P = —-~ = 2Rtg-
1 + cosZ 2
£ = F
dosazení p do rovnice zkreslení:
2 1
mp =mr =
1 + cosZ        2 Z cos —
2
1
"V =
4Z cos —
2
= 0
36
Stereografická proj
Odkud se promítalo?
Ortografická proje>|^^^^^^^^^
Ortografická projekce vzniká při promítání z nekonečna.
• C = nekonečno
• „pohled z vesmíru"
• projekce je ekvidistantním zobrazením v rovnoběžkách
odvodí se z obrázku (nekonečno do vzorce nedosadíme):
p = R sin Z s = V
dosazení p do rovnice zkreslení:
Ortografie ká projekc
I M
• Rovníková poloha: rovnoběžky úsečky, poledníky elipsy.
• Pólová poloha: rovnoběžky kružnice, poledníky polopřímky.
• Obecná poloha: poledníky i rovnoběžky elipsy.
Tissotovy indikatrix
40
Srovnání různých azim
razení
s\eTeograp/,ic
41
Ortografie ká projekce na válec
• Pozor! Ne všechny projekce jsou azimutální.
• Zobrazení Lambertovo válcové plochojevné. Viz válcová zobrazení.
• Ortografická válcová projekce. Střed promítání v nekonečnu.
• Ekvivalentní
• Nezkreslený rovník
x = R sin u y = Rv
42
T