Nepravá (a obecná) zobrazení Matematická kartografie 1. Základní charakteristiky nepravých zobrazen 2. Nepravá válcová zobrazení 3. Nepravá kuželová zobrazení 4. Nepravá azimutální zobrazení 5. Polykónická zobrazení 6. Obecná zobrazení 1 ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY NEPRAVÝCH ZOBRAZENÍ 3 ■■m ■H Základní charakteristiky nepi Zachovávají některé vlastnosti jednoduchých zobrazení, zejména tvary zeměpisných rovnoběžek. Tvary zeměpisných poledníků jsou však odlišné - složité křivky. Jedna zobrazovací rovnice je funkcí obou souřadnic na referenční ploše. Jejich zobrazovací rovnice nelze odvozovat jako u jednoduchých zobrazení. Hlavní paprsky zkreslení neleží ve směrech poledníků a rovnoběžek. Úhel mezi obrazy poledníků a rovnoběžek není pravý. • Tím pádem nemohou být tato zobrazení konformní. Zobrazení však mohou být ekvidistantní a ekvivalentní zároveň. U jednoduchých zobrazení platí: mPi = mPmr Kdyby mp a mpi byly rovny 1, pak by mr taky muselo být rovno 1, což nelze. U nepravých zobrazení zmíněný vzorec neplatí, takže je možné, aby mpi i mp byly rovny 1. 4 ■■m ■H Základní charakteristiky nepi Zobrazení se odvozují matematickou cestou podle zadaných podmínek nebojsou definována konstrukčním návodem, nelze si je představit geometricky. Často se využívají pro zobrazování velkých územních celků v malém měřítku až po zobrazení celého světa na jednom mapovém listu -planisféry. Většina zobrazení se proto používá v pólové poloze z referenční koule. Jen výjimečně jsou používána v rovníkové nebo šikmé poloze nebo z elipsoidu. 5 NEPRAVÁ VÁLCOVÁ ZOBRAZENÍ 6 x = f (U) y = f (u, v) Z tvaru zobrazovacích rovnic je zřejmé, jaký tvar budou mít rovnoběžky. Jaký? Jako u jednoduchých válcových zobrazení. A to je jaký tvar? Soustava přímek rovnoběžných s obrazem rovníku. A proč? Která rovnice ovlivňuje tvar rovnoběžek? Rovnice pro x určuje na mapě vzdálenost od rovníku - tedy tvar rovnoběžky. Je stejná jako u jednoduchých zobrazení. Tedy i tvar rovnoběžky je stejný. 7 ■u Nepravá valcová zobrazení Tvar poledníků - rovnice pro y - kombinace obou souřadnic - složité křivky symetrické podle hlavního poledníku. Rozlišují se proto zobrazení: • sinusoidální, • eliptická, • kruhová, • přímková Póly jsou často úsečky, ale může to být i bod (u Mercator-Sansonova zobrazení). 8 Nepravá válcová zo b raze n ^^^// Odvození rovnice zkreslení - z obecných rovnic pro výpočet - viz skripta kap. 3.1. Rovnice zkreslení: TTcosř/ tg Acd 1 \m2p+m2r m Pi Pozměněné Gaussovy koeficienty: E = F = ^ dx ^ ( dy ^ ydUj dy dy + KdUj G = H = dU dV dx dy dU dV Rovnice zkreslení s Gaussovými koeficienty platí obecně pro všechna zobrazení. Ale musí se vždy dosadit správný tvar Gaussova koeficientu. Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) Mercator-Sansonovo zobrazení: - poledníky se zobrazují jako části sinusoid: Sinusoidal projection - ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem - ekvivalentní 1. podmínka: m,. = Vg RcosU dy_ dV m, = dy_ dV RcosU = 1 RcosU v jdy = RcosUjdV y = RVcosU 2. podmínka: mpi =l mPi = H = R2cosU H R2cosU dx dy _,2 = R cosU dU dV dx dU = R = 1 m p inľ = 1 mpi =1 = Vl + sin2ř/V: tg -= — sin U V V zobrazovací rovnice: x = RU y = RVcosU 10 Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) poledníky = části sinusoid pól = bod délkové zkreslení v polednících velké zkreslení ve vyšších zem. šířkách Mercator-Sansonovo zobrazení 3,5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 U ■10° ■20° 30° ■40° ■50° ■60° 70° ■80° ■90° 100c 110c ■120c ■130c ■140c ■150c ■160c ■170c ■180c Znázornit se musí více poledníků. Jakou zeměpisnou délku má nezkreslený poledník? ii Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Eckertovo Charakteristika: • Poledníky se zobrazují jako části sinusoid. • Póly se zobrazují jako úsečky stejné délky jako základní poledník a současně poloviční délky obrazu rovníku. • Rovnoběžky se k sobě vzájemně přibližují směrem k pólům. • Zobrazení je ekvivalentní tak, že plošný obsah celého obrazu Země je stejný jako plocha zobrazované referenční koule o poloměru R. • Menší zkreslení ve vyšších zem. šířkách než u Mercator-Sansonova. 13 Nepravé válcové sinusoidální zobrazení Eckertovo 2R X = IV 2R „U Y = -==Vcos2- ^IWT2 2 „Upravená" zeměpisná šířka: 7T + 2 sinlľ + U =-sinU n č/'+sinč/- 1 + — v sinř7 J 1 +cos ČT mp = VŤr+~2cosřy' zcos -COSS 2cos 2^' mr = VŤr+~2cosř7 mpl =mpmr cosč* = 1 tg 1 / 2-L 2 0 V ■ rr tgs = —sin (7 2 14 Eckert V Eckert VI Ve skriptech je popsáno zobrazení Eckert VI. 15 Nepravé válcové el Molweidovo ^ eni Pseudocylindrické ekvivalentní zobrazení s poledníky ve tvaru elips. Celá Země je zobrazena do elipsy s poloosami v poměru a : b =1 : 2. Poledníky V = ±90° se zobrazí jako kružnice o poloměru p = b = r4i Zobrazovací rovnice - z parametrických rovnic elipsy, jimiž jsou vyjádřeny poledníky. Pól se zobrazí jako bod - velké zkreslení u krajních poledníků a u pólů. sin a 2RVJ2 cos a 7T - (a'+ sin a-n sin u) 1 + cosa' 71 TJ mn = —i=cosU secasecr P 2V2 2V r = —tg a 71 mr =-secí/ cos a 7T mPl=l AčD 1 / 2 2 tg — = -^Jmp+mr-2 16 Nepravé válcové sinusoidal Molweidovo - Goodeho úprava Pokus řešit poměrně velké zkreslení ve vyšších zem. šířkách u Molweidova zobrazení. Vyloučeny části povrchu Země s velkým zkreslením - využita plocha oceánů. NEPRAVÁ KUŽELOVÁ ZOBRAZENÍ 18 Obraz rovnoběžek? P = f(U) £ = f(U,V) Kružnice se společným středem. Obraz poledníků? Složitější křivky symetrické podle hlavního poledníku. Obrazy pólů: body. Odvození rovnice zkreslení - z obecných rovnic pro výpočet zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic-viz skripta kap. 3.4. Pozměněné Gaussovy koeficienty: 2 ds ds F = p dU dV H = -p G = p dU dV 19 7%t Nepravá kuželová zo b raze Rovnice zkreslení: • stejně jako u nepravých válcových • změní se jen Gaussovy koeficienty H P1 T)2 TTcosř/ tg Aw 1 2\ m2p + m2 -2 m pi E = F = p dU 2 you J ds ds ( ds V dU J G = p H = -p dU dV 2(dsy dp ds J dU dV mp = dp (duj +p' í—T ydU, m.. = R ŕds_^ Kdv, RcosU P tg mpi = Aú) 1 dp ds dU dV R2 cosU P 2\ m2p + m2 -2 m pi 20 Nepravá kuželová zobrazení Převod mezi polárními a rovinnými souřadnicemi je stejný jako u jednoduchých kuželových zobrazení: P poloměr základní rovnoběžky 0 xv vzdálenost počátku souřadnic polárních (vrcholu V) a počátku souřadnic pravoúhlých • Ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem V0. • Souřadnice p je funkcí souřadnice U. Jako u jednoduchých kuželových zobrazení. • Obrazy rovnoběžek jsou stejné jako u jednoduchého kuželového zobrazení. • Jednoduché kuželové ekvidistantní jsme už odvozovali. • 1. zobrazovací rovnice je stejná: P = f(U) p = Po-R(U-U0) P= R cot gU Rovnoběžky jsou nezkreslené. RcosU P dV RcosU V 2. zobrazovací rovnice s = P 22 Nepravé kuželové zobraz Rovnice zkreslení vznikají odvozením ze zobrazovacích rovnic. í mp=Jl + V- sin U - RcosU P ) mpí = 1 Zobrazení je zároveň ekvivalentní! Nepravé kuželové zobraz 3VO / / ekvidistantní v rovnoběžkách ekvivalentní Přesto se zdá použitelné jen pro umělecký efekt - „milujeme naši planetu". Ve větším měřítku je však využitené i pro běžné topografické mapy - např. dříve Rakousko, Francie a Švýcarsko. Uo = 60°, Vo=0° 24 25 4 NEPRAVÁ AZIMUTÁLNÍ ZOBRAZENÍ 26 Nepravá azimutální zobrazení P = f(U) £ = f(U,V) x = pcoss y = psms • obrazy rovnoběžek: soustředné kružnice se společným středem • obrazy poledníků: různé křivky • obrazy pólů: body Obecné zobrazovací rovnice a obecné tvary zákonů zkreslení jsou stejné jako u nepravých kuželových zobrazení. mr = RcosU P P mpi = dp ds dU dV ^ Aco 1 R2cosU 2\ m2p + m) -2 m Pi zobrazení odvozená matematickou cestou zobrazení vzniklá afinním promítáním jednoduchých azimutálních zobrazení v rovníkové poloze zobrazení vzniklá kombinací azimutálních zobrazení s válcovými či nepravými válcovými zobrazeními 27 Nepravé azimutální Staabovo mezní případ Bonneova kuželového zobrazení (U0= 90°) obraz zemského pólu se ztotožňuje se středem rovnoběžkových kružnic • tedy pro U0 = 90° bude p0 = 0 (vzdálenost mezi počátkem polárních souřadnic a zobrazovací rovnoběžkou) dosazení do zobrazovacích rovnic Bonneova zobrazení: p = p0-R(U-U0) U0=90°,p0 = 0 p = RZ RcosU Tr s —-V P cosU Tr £ =-V Z 28 Nepravé azimutální Staabovo mmm Zákony zkreslení budou obdobné jako u Bonneova zobrazen • ekvidistantní v rovnoběžkách • ekvivalentní Místo U bude uvažován zenitový úhel Z. Nepravé azimutální zobrazení Werner-Staabovo Nepravé azimutální Ginzburgovo • Zobrazení s oválnými ekvideformátami. • Zobrazení v obecné poloze - při odvození se využívají i kartografické souřadnice. 31 Modifikovaná azimutální zobrazení • Vznikají úpravou jednoduchých azimutálních zobrazení v příčné poloze, nejčastěji jejich afinním promítnutím na šikmou rovinu. • Nemohou být konformní, ale jsou většinou ekvivalentní. • Póly se zobrazují jako křivky či body. • Obrazem základního poledníku a rovníku jsou úsečky, vše ostatní křivky. • Používají se pro mapy celého světa. vznik: • Kombinace jednoduchých a nepravých zobrazení. • Afinním promítnutím jednoduchých azimutálních zobrazení zástupci: • Aitovovo zobrazení • Hammerovo zobrazení • Wagnerovo zobrazení 32 Nepravé azimutální zobrazení Aitovovo (též Aitoff) fg • Zobrazení vniklo geometrickou cestou. • Afinní průmět ekvidistantního azimutálního zobrazení (Postelovo zobrazení, ale v rovníkové poloze) na rovinu odkloněnou o 150° od roviny rovníku (o 60°od průmětny). • Obrazem Země je elipsa. • Nezkreslený rovník, základní poledník zkrácen na polovinu. • Zobrazení není ekvidistantní. • Obrazy poledníků i rovnoběžek jsou obecné křivky. 90° Nepravé azimutální zobrazení Aitovovo (též Aitoff) ^^^^^^M- Nepravé azimutální zobrazení Hammer-Aitoff Tak jako Aitov zobrazil Postelovo zobrazení v rovníkové poloze, Hammer stejně zobrazil Lambertovo jednoduché ekvivalentní azimutální zobrazení v rovníkové poloze. Obrysová kružnice Lambertova zobrazení se transformuje do obrysové elipsy s poloosami: a = 2R4l b = RJ2 IRúnU x = + COSÍ/ cos AV IR^hcosU sin y l + cosí/ cos AV h=a/b - poměr poloos elipsy změna h umožňuje redukovat plošné zkreslení při h=2 je zobrazení ekvivalentní 35 Nepravé azimutální zol Aitoff ekvideformáty Tissotovy indikatrix Aitovovo a Mollweidovo ^^^^w • nepravé válcové x nepravé azimutální Jak poznat, které je které? • Rovnoběžky jsou rovné - nepravé válcové - Mollweidovo. • Rovnoběžky jsou elipsy - nepravé azimutální - Aitovovo. Nepravé azimutální zobrazení Wagnerovo • Zobrazení vzniklo geometrickou cestou a to transformací jednoduchého azimutálního ekvivalentního zobrazení v příčné (=rovníkové) poloze s přečíslováním poledníků a rovnoběžek. • Zobrazení je jako celek ekvivalentní. 38 Nepravé azimutální zobraz 1) vyjmout část původního zobrazení mm 2) přečíslovat vyňatou část, aby vyjadřovala povrch celé Země • rovník zůstane rovníkem, základní poledník základním poledníkem • okrajové rovnoběžky budou obrazem zeměpisných pólů • okrajové poledníky budou obrazy poledníků V = ± 180°. 3) přečíslovat poledníky a rovnoběžky V' = n-V sin Uf = m ■ sin U m, n podle okrajových poledníků a rovnoběžek: m = smuk Pól se zobrazí jako křivka tím delší, čím bude m menší. n K, 180c o 60° 30° 0° 30° 60° Uo 39 Nepravé azimutální zobrazení Wagnerovo 7SC/ 4) zvětšit vyňatou část, aby měla stejnou plochu jako referenční koule. 5) transformovat vynásobením všech souřadnic y a dělením všech souřadnic x vhodnou konstantou Více zde: http://old.qis.zcu.cz/studium/mk2/multimedialni texty/index soubory/hlavni soubory/nepravá souborv/neazimut.html#waqner 40 POLYKÓNICKÁ ZOBRAZENÍ 41 • Zobrazování na nekonečný počet kuželů. • Každá rovnoběžka zobrazována na samostatný kužel v této rovnoběžce tečný. • Jednoduchá kuželová zobrazení - obrazy rovnoběžek jsou kružnice. • Každá kružnice má však samostatný střed ležící na obraze základního poledníku. P = f(U) e = f(U,V) zobrazovací rovnice podle nepravého kuželového zobrazení: transformace do rovinných souřadnic: x = xv-pcoss xv=f(u) y = psin s Xv není konstantní. - „třetí zobrazovací rovnice Polykónická zobrazení ^^^w Gaussovy symboly -pro polární souřadnice: rovnice zkreslení: E = í dx,. dU coss- dp^2 f dU + dx,. dU sms + p ds dU F = p ds dV f dxv dU sms + p ds dU J G = p: H = p \dVj ds dV í dx, dU coss- dp dU m P ds dV R cosi/ P ds dV f dx, dU coss dp dU Pi RlcosU tg Aco 1 m2p + m) 2i m Pi 43 Polykónické zobrazení H mu • ekvidistantní polykónické zobrazení • nezkreslují se rovnoběžky • není zkreslený základní poledník • pól se zobrazí jako bod 1. zobrazovací rovnice p = RcotgU s = RcosU P dosadí se do rovnice Bonneova zobrazení V vznikne s = V sin U 2. zobrazovací rovnice podmínka nezkresleného poledníku: xvi=pi+r(u1-u0) 3. zobrazovací rovnice x Polykónické zobrazení rovnice zkreslení: • zobrazovací rovnice Hasslerova zobrazení se dosadí do obecných rovnic zkreslení pro polykónická zobrazení t - arctg s-sms V 2ún2- + tg2U J m , = 1 + 2cotg U sin — tg Aú) 1 m2p + m) -2 m Pi 45 Polykónické zobrazení H mu „apple-shaped" nezkreslují se rovnoběžky není zkreslený základní poledník, ale ostatní poledníky ano. velké zkreslení v okrajových částech, nevhodné pro zobrazení celé Země Polykónické zobrazení celého světa se základním poledníkem 15°. Polykónické zobrazení části Země, základní poledník 15°, základní rovnoběžka 50°. Proč se učíme o zobrazení, které je „nevhodné"? 46 Polykónické zobrazení H mm Okrajové části: velké zkreslení, nevhodné pro zobrazení celé Země 6 OBECNÁ ZOBRAZENÍ 48 Obecná zobrazení • obě zobrazovací rovnice jsou funkcí obou souřadnic na referenční ploše • zpravidla v pólové poloze • některá jsou konformní, většina z nich je vyrovnávací - zkreslují vše • tvary zobrazovacích rovnic: - referenční elipsoid - referenční koule referenční elipsoid: x = f(,X) p = f(