logo-IBA
Analýza hlavních komponent (PCA)
Pokročilé statistické metody
5. cvičení

logo-IBA
Analýza hlavních komponent – jaký je cíl?


logo-IBA
Analýza hlavních komponent – jaký je cíl?
•V převážné většině případů existují mezi dimenzemi korelační vztahy, tedy dimenze se navzájem
vysvětlují a pro popis kompletní informace v datech není třeba všech dimenzí vstupního souboru.
1.Popis a vizualizace vztahů mezi proměnnými
2.Výběr neredundantních proměnných pro další analýzy
3.Vytvoření zástupných faktorových os
4.Identifikace shluků/odlehlých objektů

logo-IBA
Analýza hlavních komponent – vstup?


logo-IBA
Analýza hlavních komponent – vstup?
•Pracuje s asociační maticí korelací/kovariancí.
•Jaký je vztah mezi kovariancí a korelací?
•Kdy použijeme kterou matici?
•Jaká bude dimenze matic?

logo-IBA
Jaký je vztah mezi kovariancí a korelací?
•Kovariance popisuje vztah dvou proměnných; její rozsah závisí na variabilitě dat
•
•
•
•Korelace = kovariance standardizovaná na rozptyl proměnných.
•
•
•
•
•Jaké hodnoty se nachází na diagonále korelační matice?
•Má smysl použít metody redukce dimenzionality dat v situaci, kdy jsou hodnoty kovariance/korelace
blízké nule?
•Čemu odpovídá kovariance na standardizovaných datech?
•
Pokud D(x1)=D(x2)=1 → kovariance = korelace

logo-IBA
Analýza hlavních komponent – předpoklady?


logo-IBA
Analýza hlavních komponent – předpoklady?
•Více objektů než proměnných (obvykle se uvádí 10x větší počet objektů než proměnných)
•Vícerozměrná technika – 100% vyplněnost dat (jedna chybějící hodnota vede k odstranění celého
objektu z analýzy)
•Souvisí s výpočtem asociační matice – korelace/kovariance vyžadují zhruba normální rozdělení
proměnných.
ALE! Jaké mohou být výjimky?

logo-IBA
Problémy s výpočtem korelačního koeficientu
Identifikace shluků
Identifikace odlehlých hodnot
X
r = 0,981
(p < 0,001)
Y
Y
X
r = 0,762
(p < 0,001)
•Výjimkou jsou situace, kdy provádíme analýzu za účelem identifikace shluků / odlehlých hodnot.

logo-IBA
Popis výstupů - příklad
•Jelikož jsou vstupní data měřena ve stejných jednotkách, analýza bude provedena na kovarianční
matici, vstupní data jsou centrována průměrem →

logo-IBA
Popis výstupů - příklad
→ % rozptylu, které popisuje osa: 184/(184+14) *100 = 92.9 %
→ % rozptylu, které popisuje osa: 14/(184+14) *100 = 7.1 %
184+14=22+176 → PCA přerozděluje rozptyl původních dat

logo-IBA
Popis výstupů - příklad
•Nové osy (y1, y2) jsou lineární kombinací původních proměnných:
[101; 16]
[-4,66; 2,06]
•PCA natočí datový prostor a vytvoří nové osy tak, aby popisovaly maximum variability původních
dat.

logo-IBA
Popis výstupů - příklad
•Každá další osa popisuje rozptyl, který nebyl popsán osami předchozími – každá další osa je
nezávislá = kolmá na osy předchozí.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•Výběrem faktorových os přicházíme o určité % variability
původních dat

logo-IBA
Grafické výstupy
Biplot korelací
Variabilita vyčerpaná faktorovými osami
Pozice proměnných
Jednotková kružnice - Hranice příspěvku k definici faktorové osy
Pozice objektů
Variabilita vyčerpaná faktorovými osami
Biplot vzdáleností
Výsledek obrázku pro sepal petal

logo-IBA
Jaký počet os popisuje dostatečně datový soubor?


logo-IBA
Jaký počet os popisuje dostatečně datový soubor?
•Ideálně 2-3 osy, je však potřeba brát ohled na % rozptylu původních dat, který vybranými osami
popíšeme.
•
•
•Kaiser-Gutmanovo kritérium
•
üPro další analýzu jsou vybrány osy s vlastním číslem >1 (korelace) nebo větším než je průměrné
eigenvalue (kovariance)
üLogika je vybírat osy, které přispívají k vysvětlení variability dat více než připadá rovnoměrným
rozdělením variability
•

logo-IBA
Jaký počet os popisuje dostatečně datový soubor?
•Scree plot
üGrafický nástroj hledající zlom ve vztahu počtu os a vyčerpané variability
•
•Zlom ve vztahu mezi počtem nových os a popsanou variabilitou – pro další analýzu budou použity
první dvě faktorové osy.
•Tyto osy popisují téměř 96 % rozptylu původních dat.

logo-IBA
Jaký počet os popisuje dostatečně datový soubor?
•Shepardův diagram
üVykresluje vzdálenosti v prostoru původních proměnných proti vzdálenostem na nových osách
Za optimální z hlediska zachování vzdáleností objektů lze považovat dvě nebo tři dimenze.
Při použití všech dimenzí jsou vzdálenosti perfektně zachovány.