9. Úvod do optimalizačních
metod. Optimalizace geometrie
molekuly.
Definice optimalizace
Již v minulosti řada matematiků a přírodovědců
dospěla k přesvědčení, že přírodní děje lze
popsat jako optimalizační procesy.
Euler: „Na světě se nestane nic, v čem by nebylo
vidět smysl nějakého maxima nebo minima“.
Leibnitz: „Náš svět je nejlepší ze všech možných
světů, a proto lze jeho zákony vyjádřit
extremálními principy“.
Definice optimalizace II
Optimalizaci lze definovat například
následovně:
Obor zabývající se určením nejlepšího
řešení jistého matematicky
definovaného problému.
Definice optimalizace III
Postup při optimalizaci:
• Nastudování optimalizačních kritérií problému
• Nalezení metody řešení problému
• Matematický popis řešení (pomocí funkce)
• Nalezení minima funkce
Tímto tématem se
budeme zabývat
Definice optimalizace IV
Předmět PV027 se zabývá matematickou
optimalizací, tedy minimalizací reálných
funkcí, tj. úlohami typu:
kde:
min ( )
x M
f x

f R R
M R
n
n
: →

Definice optimalizace V
Poznámka:
Není nutné zabývat se samostatně také
maximalizací, neboť ji lze převést na
minimalizaci pomocí vztahu:
( )max ( ) min ( )
x M x M
f x f x
 
= − −
Typy optimalizací
Lokální X globální:
Lokální optimalizace:
• Nalezení jediného minima, nacházejícího se v určitém
intervalu
f(x)
x
Typy optimalizací II
Lokální optimalizace – další možný přístup:
• Nalezení nejbližšího minima do kterého lze sestoupit ze
vstupního bodu
f(x)
x
Typy optimalizací III
Globální optimalizace:
• Hledání nejhlubšího minima v daném intervalu
f(x)
x
Typy optimalizací IV
Bez omezení X s omezeními:
Bez omezení (unconstrained)
Kromě podmínky minimality funkce f(x) neexistuje
žádná jiná podmínka, kterou by měla hledaná
optimální hodnota x splňovat.
S omezeními (constrained)
Vedle podmínky minimality pracujeme ještě s dalšími
podmínkami.
Lineární X nelineární:
Lineární
f(x) je lineární funkcí x
Nelineární
jinak
Optimalizační metody
Nederivační (ad hoc) metody
Jednoduché metody
Nelder-Meadova (simplexová) metoda
Derivační metody
První derivace
Metoda největšího spádu + další spádové metody
Metoda konjugovaných gradientů
Druhá derivace
Newton-Raphsonova metoda
Quasi-Newtonova metoda
Optimalizační metody
Nederivační (ad hoc) metody
Jednoduché metody
Nelder-Meadova (simplexová) metoda
Derivační metody
První derivace
Metoda největšího spádu + další spádové metody
Metoda konjugovaných gradientů
Druhá derivace
Newton-Raphsonova metoda
Quasi-Newtonova metoda
Vzhledem k
omezenému času
probereme jen
vyznačené
metody
Optimalizační metody
Nederivační (ad hoc) metody
Jednoduché metody
Nelder-Meadova (simplexová) metoda
Derivační metody
První derivace
Metoda největšího spádu + další spádové metody
Metoda konjugovaných gradientů
Druhá derivace
Newton-Raphsonova metoda
Quasi-Newtonova metoda
Nyní se budeme
věnovat jednoduchým
nederivačním metodám
Jednoduché metody
Nejstarší z optimalizačních metod.
Některé nejsou podloženy matematickou
teorií, ostatní mají velmi jednoduchý
princip.
Konkrétně:
• Postupná optimalizace proměnných
• Systematické prohledávání
• Náhodnostní metoda
• Metoda alternujících proměnných
Tyto metody probereme
až v rámci globálních
optimalizačních metod
Jednoduché metody
- postupná optimalizace proměnných
Jedna z nejstarších optimalizačních metod (označována také
„naivní metoda“ :-).
Princip:
Nejdříve nalezne minimum první proměnné (hodnoty
ostatních proměnných se nemění). Původní hodnotu této
proměnné nahradí nově nalezenou hodnotou.
Analogicky jsou optimalizovány další proměnné.
Zhodnocení:
Metoda je použitelná pouze v některých případech:
funkce 2 nebo 3 proměnných + vhodný tvar funkce.
V součastnosti se tato metoda již nevyužívá.
Jednoduché metody
- metoda alternujících proměnných
Anglicky označována alternating variables method.
Princip:
V iteraci k (k = 1, 2, ..., N*) se mění (je optimalizována)
pouze proměnná xk, ostatní proměnné jsou ponechány.
Poznámka: Proměnná xk je optimalizována např. tak, že jsou
vypočítány hodnoty xk´ = xk+dx a xk = xk-dx, poté hodnoty f(x1, ...,
xk´, ..., xN) a f(x1, ..., xk, ..., xN), a pak je pro další iteraci za xk použito
nejvhodnější z xk´ a xk
Po proběhnutí iterací 1 ... N, když jsou všechny hodnoty
optimalizovány, se celý cyklus opakuje znovu (až do
splnění podmínek minima).
* N je dimenze prostoru, nad kterým je funkce definována.
Jednoduché metody
- metoda alternujících proměnných II
Zhodnocení:
Výhody:
Jednoduchá implementace.
Rozumná složitost.
Nevýhody:
V některých případech je tato metoda velmi neefektivní.
Postup optimalizace je v těchto případech charakterizován
oscilačním průběhem (viz následující obrázek).
Navíc je znám problém (viz Practical methods of optimization),
pro který metoda chybně konverguje k sedlovému bodu.
Jednoduché metody
- metoda alternujících proměnných III
Příklad pomalé konvergence metody:
Optimalizační metody
Nederivační (ad hoc) metody
Jednoduché metody
Nelder-Meadova (simplexová) metoda
Derivační metody
První derivace
Metoda největšího spádu + další spádové metody
Metoda konjugovaných gradientů
Druhá derivace
Newton-Raphsonova metoda
Quasi-Newtonova metoda
Nelder-Meadova metoda
- obecně
Nazývá se také simplexová metoda.
Základní myšlenka:
N-rozměrným prostorem se pohybuje jistý
objekt („améba“), který se může
natahovat nebo zkracovat v různých
směrech. Několik typů takových
transformací má zajistit, aby se objekt
posouval směrem do „údolí“ a po
dosažení dna údolí se „plazil“ co nejkratší
cestou k lokálnímu minimu.
Nelder-Meadova metoda
- obecně II
Simplex: V N-rozměrném prostoru je „améba“
definována jako simplex s N+1 vrcholy s neprázdným
obsahem, tj. jde o konvexní obal tvořený N+1 body.
Zápis simplexu: S = {p1, p2, ..., pN}, kde pi  RN
Příklady simplexů:
R: R2: R3:
Nelder-Meadova metoda
- transformace
Reflexe:
Bod pi, který má největší funkční hodnotu se přemístí
(odzrcadlí) na druhou stranu simplexu, tj. k bodu pi se
přičte dvojnásobek rozdílu mezi pi a průměrem
ostatních bodů .( )
p
n
j i
j


Nelder-Meadova metoda
- transformace II
Reflexe a prodloužení:
Totéž jako v předchozím případě, až na to, že simplex je
prodloužen v novém směru (tj. přičítá se více než
dvojnásobek rozdílu mezi nejhorším bodem a průměrem
ostatních).
Nelder-Meadova metoda
- transformace III
Kontrakce:
Nejhorší bod se přiblíží k průměru ostatních. To je
vhodné v případě, kdy má „améba“ projít úzkým
údolím.
Nelder-Meadova metoda
- začátek výpočtu
Na začátku výpočtu se simplex nejčastěji definuje
takto:
kde:
i = 1, ..., N
p0 pevně zvolený (počáteční) bod
ei jednotkové vektory
l konstanta, odrážející odhad měřítka
optimalizačního problému (např. šířku „údolí“)
p p ei 0 i= + l
Nelder-Meadova metoda
- ukončení výpočtu
Metoda končí, pokud:
– Není dosaženo výrazného snížení hodnoty
studované funkce
– simplex se v některém cyklu prakticky nezmění
Nelder-Meadova metoda
- zhodnocení
Výhody:
– Jednoduchá implementace
– Rychlý výpočet 1 iterace
– Rychlá konvergence v oblastech daleko od minima
Nevýhody:
– Pomalá konvergence v oblasteh poblíž minima
– Může nastat situace, že výpočet neskončí v lokálním
minimu
Nelder-Meadova metoda
- příklad aplikace
Optimalizační metody
Nederivační (ad hoc) metody
Jednoduché metody
Nelder-Meadova (simplexová) metoda
Derivační metody
První derivace
Metoda největšího spádu + další spádové metody
Metoda konjugovaných gradientů
Druhá derivace
Newton-Raphsonova metoda
Quasi-Newtonova metoda
Matematické základy
Gradient:
– Vektor prvních parciálních derivací funkce f v bodě
x = (x1, x2, …, xn)
– Označujeme ho f(x):












=
nx
f
x
f
x
f
xf ,...,,)(
21
Poznámka: Funkce, kterými se budeme zabývat,
budou mít spojité derivace, takže se nám
gradient vždy podaří vypočítat :-).
Metoda největšího spádu
Anglicky označována steepest descent method.
Princip:
• Nacházím se v počátečním bodě výpočtu, tedy v bodě x(0).
• Vydám se směrem, ve kterém studovaná funkce nejrychleji klesá. Tedy ve směru
záporně vzatého gradientu funkce f v bodě x(0) (tento gradient označujeme f(x(0))
nebo zjednodušeně g(0)).
• Poskočím tímto směrem malý kousek (definovaný konstantou a) do nového bodu
(x(1)).
• V bodě x(1) se opět vydám směrem největšího spádu – tedy ve směru záporně
vzatého g(1) neboli -g(1). A poskočím malý kousek definovaný konstantou a do
nového bodu (x(2)).
• Stejně postupujeme i v dalších krocích
Poznámka: Takto se kutálí kulička ze svahu.
Poznámka 2: Vždy poskočíme jen malý kousek, protože nevíme, jestli funkce v
původním směru už v novém bodě nepřestává klesat nebo dokonce neroste. Proto v
novém bodě opět vyhledám směr největšího spádu.
Metoda největšího spádu
Postup:
• zvolíme výchozí bod x(0)
• k-tá iterace:
bod x(k+1) vypočítáme z bodu x(k) pomocí vztahu:
x(k+1) = x(k) - a.g(k), kde:
-g(k) zjednodušený zápis -f(x(k)),
určuje směr přesunu z bodu x(k)
a koeficient, popisující délku daného přesunu
Metoda největšího spádu
- volba a v metodě největšího spádu
Metoda největšího spádu volí pro každý krok stejnou
hodnotu a.
Konkrétně velmi malou hodnotu a.
Poznámka: Hodnoty a musí být dostatečně malá, aby
metoda konvergovala (= blížila se k minimu).
Metoda největšího spádu
zhodnocení
Výhody:
• Implementačně jednoduché
• Nízká prostorová složitost
Nevýhody:
• Velmi pomalá konvergence (speciálně v oblastech malého
spádu => nízkých hodnot gradientu).
• Chyby, způsobené zaokrouhlením. Mohou vést i k tomu, že
se výpočet vůbec nedostane rozumně blízko k minimu. Ale
při (ideální) přesné aritmetice metoda konverguje vždy k
nějakému lokálnímu minimu.
Metoda největšího spádu
- příklad 1
Funkce:
f(x1, x2) = x1
2 + 2x2
2
Výchozí bod:
x(0) = (2, 1)
Parametr a:
a = 0,25
Gradient funkce (obecně):
g(x1, x2) = (2x1, 4x2)
Poznámka: g(x1, x2) = (
𝜕(x1
2 + 2x2
2 )
𝜕𝑥1
,
𝜕(x1
2 + 2x2
2 )
𝜕𝑥2
)
Metoda největšího spádu
- příklad 1
Výchozí bod:
x(0) = (2, 1)
1. iterace: výpočet x(1):
g(0)= (2.x1
(0), 4.x2
(0)) = (2.2, 4.1) = (4, 4)
x(1) = x(0) – a.g(0) = (2, 1) - 0,25.(4, 4) = (2, 1) – (1, 1) = (1, 0)
2. iterace: výpočet x(2):
g(1)= (2.1, 4.0) = (2, 0)
x(2) = x(1) – a.g(1) = (1, 0) - 0,25.(2, 0) = (1, 0) – (0,5, 0) = (0,5, 0)
3. iterace: výpočet x(3):
g(2)= (2.0,5, 4.0) = (1, 0)
x(3) = x(2) – a.g(2) = (0,5, 0) - 0,25.(1, 0) = (0,5, 0) – (0,25, 0) =
(0,25, 0)
Metoda největšího spádu
- příklad 1
Iterace x1 x2 g(x1) g(x2) f(x1,x2) a
0 2 1 4 4 6
1 1 0 2 0 1 0.25
2 0.5 0 1 0 0.25 0.25
3 0.25 0 0.5 0 0.0625 0.25
4 0.125 0 0.25 0 0.015625 0.25
5 0.0625 0 0.125 0 0.003906 0.25
6 0.03125 0 0.0625 0 0.000977 0.25
7 0.015625 0 0.03125 0 0.000244 0.25
8 0.007813 0 0.015625 0 6.1E-05 0.25
9 0.003906 0 0.007813 0 1.53E-05 0.25
10 0.001953 0 0.003906 0 3.81E-06 0.25
11 0.000977 0 0.001953 0 9.54E-07 0.25
12 0.000488 0 0.000977 0 2.38E-07 0.25
13 0.000244 0 0.000488 0 5.96E-08 0.25
14 0.000122 0 0.000244 0 1.49E-08 0.25
15 6.1E-05 0 0.000122 0 3.73E-09 0.25
16 3.05E-05 0 6.1E-05 0 9.31E-10 0.25
17 1.53E-05 0 3.05E-05 0 2.33E-10 0.25
18 7.63E-06 0 1.53E-05 0 5.82E-11 0.25
19 3.81E-06 0 7.63E-06 0 1.46E-11 0.25
20 1.91E-06 0 3.81E-06 0 3.64E-12 0.25
Prvních 20 iterací výpočtu: Graf posunu bodu x(k) do minima:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x2
x1
Metoda největšího spádu
- příklad 1 b)
Prvních 20 iterací výpočtu: Graf posunu bodu x(k) do minima:
Nižší hodnota a (a = 0,01) má za důsledek pomalejší přesun do minima.
Iterace x1 x2 g(x1) g(x2) f(x1,x2) a
0 2 1 4 4 6
1 1.96 0.96 3.92 3.84 5.6848 0.01
2 1.9208 0.9216 3.8416 3.6864 5.388166 0.01
3 1.882384 0.884736 3.764768 3.538944 5.108885 0.01
4 1.844736 0.849347 3.689473 3.397386 4.845831 0.01
5 1.807842 0.815373 3.615683 3.261491 4.597956 0.01
6 1.771685 0.782758 3.54337 3.131031 4.364286 0.01
7 1.736251 0.751447 3.472502 3.00579 4.143914 0.01
8 1.701526 0.72139 3.403052 2.885558 3.935997 0.01
9 1.667496 0.692534 3.334991 2.770136 3.739748 0.01
10 1.634146 0.664833 3.268291 2.659331 3.554437 0.01
11 1.601463 0.638239 3.202925 2.552957 3.379382 0.01
12 1.569433 0.61271 3.138867 2.450839 3.213948 0.01
13 1.538045 0.588201 3.07609 2.352805 3.057543 0.01
14 1.507284 0.564673 3.014568 2.258693 2.909617 0.01
15 1.477138 0.542086 2.954276 2.168346 2.769653 0.01
16 1.447595 0.520403 2.895191 2.081612 2.637171 0.01
17 1.418644 0.499587 2.837287 1.998347 2.511723 0.01
18 1.390271 0.479603 2.780541 1.918413 2.392891 0.01
19 1.362465 0.460419 2.72493 1.841677 2.280283 0.01
20 1.335216 0.442002 2.670432 1.76801 2.173534 0.01
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x2 x1
Bod x(k) v průběhu výpočtu
Metoda největšího spádu
- příklad 1 c)
Prvních 20 iterací výpočtu: Graf posunu bodu x(k) do minima:
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x2
x1
Iterace x1 x2 g(x1) g(x2) f(x1,x2) a
0 2 1 4 4 6
1 0.6 -0.4 1.2 -1.6 0.68 0.35
2 0.18 0.16 0.36 0.64 0.0836 0.35
3 0.054 -0.064 0.108 -0.256 0.011108 0.35
4 0.0162 0.0256 0.0324 0.1024 0.001573 0.35
5 0.00486 -0.01024 0.00972 -0.04096 0.000233 0.35
6 0.001458 0.004096 0.002916 0.016384 3.57E-05 0.35
7 0.000437 -0.00164 0.000875 -0.00655 5.56E-06 0.35
8 0.000131 0.000655 0.000262 0.002621 8.76E-07 0.35
9 3.94E-05 -0.00026 7.87E-05 -0.00105 1.39E-07 0.35
10 1.18E-05 0.000105 2.36E-05 0.000419 2.21E-08 0.35
11 3.54E-06 -4.2E-05 7.09E-06 -0.00017 3.53E-09 0.35
12 1.06E-06 1.68E-05 2.13E-06 6.71E-05 5.64E-10 0.35
13 3.19E-07 -6.7E-06 6.38E-07 -2.7E-05 9.02E-11 0.35
14 9.57E-08 2.68E-06 1.91E-07 1.07E-05 1.44E-11 0.35
15 2.87E-08 -1.1E-06 5.74E-08 -4.3E-06 2.31E-12 0.35
16 8.61E-09 4.29E-07 1.72E-08 1.72E-06 3.69E-13 0.35
17 2.58E-09 -1.7E-07 5.17E-09 -6.9E-07 5.9E-14 0.35
18 7.75E-10 6.87E-08 1.55E-09 2.75E-07 9.45E-15 0.35
19 2.32E-10 -2.7E-08 4.65E-10 -1.1E-07 1.51E-15 0.35
20 6.97E-11 1.1E-08 1.39E-10 4.4E-08 2.42E-16 0.35
Vyšší hodnota a (a = 0,35) má za důsledek rychlejší přesun do minima.
Metoda největšího spádu
- příklad 1 d)
Prvních 20 iterací výpočtu: Graf posunu bodu x(k) do minima:
Příliš vysoká hodnota a (a = 0,6) má za důsledek, že metoda nekonverguje k
minimu.
-20000000
-15000000
-10000000
-5000000
0
5000000
10000000
15000000
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x2 x1
Iterace x1 x2 g(x1) g(x2) f(x1,x2) a
0 2 1 4 4 6
1 -0.4 -1.4 -0.8 -5.6 4.08 0.6
2 0.08 1.96 0.16 7.84 7.6896 0.6
3 -0.016 -2.744 -0.032 -10.976 15.05933 0.6
4 0.0032 3.8416 0.0064 15.3664 29.51579 0.6
5 -0.00064 -5.37824 -0.00128 -21.513 57.85093 0.6
6 0.000128 7.529536 0.000256 30.11814 113.3878 0.6
7 -2.6E-05 -10.5414 -5.1E-05 -42.1654 222.2401 0.6
8 5.12E-06 14.75789 1.02E-05 59.03156 435.5907 0.6
9 -1E-06 -20.661 -2E-06 -82.6442 853.7577 0.6
10 2.05E-07 28.92547 4.1E-07 115.7019 1673.365 0.6
11 -4.1E-08 -40.4957 -8.2E-08 -161.983 3279.796 0.6
12 8.19E-09 56.69391 1.64E-08 226.7756 6428.399 0.6
13 -1.6E-09 -79.3715 -3.3E-09 -317.486 12599.66 0.6
14 3.28E-10 111.1201 6.55E-10 444.4803 24695.34 0.6
15 -6.6E-11 -155.568 -1.3E-10 -622.272 48402.86 0.6
16 1.31E-11 217.7953 2.62E-11 871.1813 94869.61 0.6
17 -2.6E-12 -304.913 -5.2E-12 -1219.65 185944.4 0.6
18 5.24E-13 426.8789 1.05E-12 1707.515 364451.1 0.6
19 -1E-13 -597.63 -2.1E-13 -2390.52 714324.2 0.6
20 2.1E-14 836.6826 4.19E-14 3346.73 1400075 0.6
Metoda největšího spádu
- příklad 1
Ve studijních materiálech naleznete i excelový
soubor metody_prvni_derivace_priklad1.xlsx.
V tomto souboru jsou výše uvedené grafy a
tabulky.
Metoda největšího spádu
- příklad 2
Funkce:
f(x1, x2) = 2x1 – 2x2 + x1x2 + 2x1
2 + x2
2
Výchozí bod:
x(0) = (0, 0)
Parametr a:
a = 0,1
Gradient funkce (obecně):
g(x1, x2) = (2+x2+4x1, -2+x1+2x2)
Metoda největšího spádu
- příklad 2
Výchozí bod:
x(0) = (0, 0)
1. iterace: výpočet x(1):
g(0)= (2+0+4.0, -2+0+2.0) = (2, -2)
x(1) = x(0) – a.g(0) = (0, 0) - 0,1.(2, -2) = (0, 0) – (0.2, -0.2) = (-0.2, 0.2)
2. iterace: výpočet x(2):
g(1)= (2+0.2-4.0,2, -2-0,2+2.0,2) = (1,4, -1,8)
x(2) = x(1) – a.g(1) = (-0,2, 0.2) - 0,1.(1,4, -1,8) = (-0.2, 0.2) - (0,14, -0,18) =
(-0,34, 0,38)
3. iterace: výpočet x(3):
g(2)= (2+0.38-4.0,34, -2-0,34+2.0,38) = (1,02, -1,58)
x(3) = x(2) – a.g(2) = (-0,34, 0,38) - 0,1.(-0.34, 0,38) = (-0,442, 0,538)
Metoda největšího spádu
- příklad 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
x2
x1
Prvních 20 iterací výpočtu: Graf posunu bodu x(k) do minima:
Iterace x1 x2 g(x1) g(x2) f(x1,x2) a
0 0 0 2 -2 0
1 -0.2 0.2 1.4 -1.8 -0.72 0.1
2 -0.34 0.38 1.02 -1.58 -1.1936 0.1
3 -0.442 0.538 0.77 -1.366 -1.51762 0.1
4 -0.519 0.6746 0.5986 -1.1698 -1.74351 0.1
5 -0.57886 0.79158 0.47614 -0.9957 -1.90234 0.1
6 -0.62647 0.89115 0.385254 -0.84417 -2.01444 0.1
7 -0.665 0.975567 0.31557 -0.71386 -2.09371 0.1
8 -0.69656 1.046954 0.260728 -0.60265 -2.14979 0.1
9 -0.72263 1.107219 0.216702 -0.50819 -2.18949 0.1
10 -0.7443 1.158038 0.18084 -0.42822 -2.21759 0.1
11 -0.76238 1.20086 0.151327 -0.36066 -2.23748 0.1
12 -0.77752 1.236927 0.126862 -0.30366 -2.25157 0.1
13 -0.7902 1.267293 0.106484 -0.25562 -2.26154 0.1
14 -0.80085 1.292855 0.089452 -0.21514 -2.2686 0.1
15 -0.8098 1.314369 0.075185 -0.18106 -2.2736 0.1
16 -0.81731 1.332475 0.063217 -0.15237 -2.27713 0.1
17 -0.82364 1.347711 0.053167 -0.12821 -2.27964 0.1
18 -0.82895 1.360532 0.044721 -0.10789 -2.28141 0.1
19 -0.83342 1.371321 0.037622 -0.09078 -2.28267 0.1
20 -0.83719 1.380399 0.031651 -0.07639 -2.28356 0.1
Metoda největšího spádu
- příklad 1
Ve studijních materiálech naleznete i excelový
soubor metody_prvni_derivace_priklad2.xlsx.
V tomto souboru je výše uvedený graf a tabulka.
Podmínky ukončení optimalizace
Minimalizaci lze ukončit, když je splněna alespoň
jedna z těchto podmínek:
• Hodnota gradientu se blíží nule
Zdůvodnění: V minimu platí g = 0.
• Bod x se vzhledem k minulé iteraci posune jen
minimálně
• Funkční hodnota f(x) se vzhledem k minulé iteraci
změní jen minimálně
Motivační příklad: Optimalizace
geometrie molekuly
Je dána molekula, urči konformace této molekuly, které jsou v
definovaném chemickém prostředí nejstabilnější.
Konformace = uspořádání atomů v prostoru.
Strukturní vzorec: Konformace:
Židličková Zkřížená židličková
Vaničková Poloviční židličková
Motivační příklad: Optimalizace
geometrie molekuly
Čím je konformace stabilnější, tím nižší má
potenciální energii.
Potenciální energie = energie daného uspořádání
atomů v prostoru.
Epot = f(souřadnic atomů)
kde f je potenciálová funkce
f : R3N → R, kde N je počet atomů v molekule.
Motivační příklad: Optimalizace
geometrie molekuly
Vytvoříme model molekuly:
Nabité koule, spojené pružinami.
Motivační příklad: Optimalizace
geometrie molekuly
Popíšeme vztah mezi souřadnicemi a Epot:
Nevazebné
interakce
Vazebné
interakce
Motivační příklad: Optimalizace
geometrie molekuly
Grafem potenciálové funkce je
potenciálová hyperplocha
(PES):
Otázka: Které prostorové uspořádání (konformace)
cyklohexanu je energeticky nejvýhodnější?
Židličková Zkřížená židličková
Možné konformace:
Vaničková Poloviční židličková
Strukturní vzorec:
Motivační příklad: Optimalizace
geometrie molekuly
Motivační příklad: Optimalizace
geometrie molekuly
Hledáme minima potenciálové funkce.
Nejnižší potenciální energii má židličková konformace
Tento výsledek souhlasí s experimentálními výsledky.