Reprezentace molekuly při modelování Souřadnicový systém Transformační matice Bornova - Oppenheimerova aproximace • Jedna ze základních aproximací umožňující řešení Schródingerovy rovnice • Oddělení pohybu atomových jader a elektronů • Umožňuje rozdílný přístup modelování kvantově-mechanický model X molekulově-mechanický model Používané jednotky • Úhly, dihedrální úhly - stupně • Vzdálenosti, délky - Á - angstrom 1 Á = 1010 m Molekula vodíku H2 Kartézský souřadný systém -0.3525 -0.0302 -0.0133 H 0.3525 0.0302 0.0133 H 1 2 Z-matice H 0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 H 0.7080 0.0000 0.0000 1 0 0 Molekula vody H20 Kartézský souřadný systém -0.4764 0.3956 -0.0282 O 0.5117 0.6139 -0.0365 H -0.5117 -0.6139 0.0365 H 1 2 1 3 0 z T 0 00000 639171701 T2T0T H 0 0 I 0 00000 0000"0 6TT0T H 0 0 0 0 00000 00000 00000 O 90!imu-z 02H ApoA^|n>|a|0|Al Molekula benzenu CM 1.2167 0.6629 -0.0325 C 1.1821 -0.7225 -0.0367 C 0.0346 1.3854 0.0042 C -0.0346 -1.3854 -0.0041 C -1.1821 0.7226 0.0367 C -1.2167 -0.6630 0.0325 C 2.1920 1.1944 -0.0585 H 2.1297 -1.3018 -0.0661 H 0.0623 2.4961 0.0076 H -0.0623 -2.4961 -0.0075 H -2.1297 1.3018 0.0661 H -2.1920 -1.1944 0.0586 H 1 2 1 3 1 7 2 4 2 8 Molekula benzenu C_H_ o o C 0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 c 1.3859 0.0000 0.0000 1 0 0 c 1.3859 119.9960 0.0000 1 2 0 c 1.3860 120.0000 0.0004 2 1 3 c 1.3859 120.0051 -0.0022 3 1 2 c 1.3859 120.0052 0.0001 4 2 1 H 1.1110 120.0015 -180.0000 1 2 3 H 1.1110 119.998 -179.9997 2 1 3 H 1.1110 119.9970 179.9980 3 1 2 H 1.1110 119.9997 -180.0000 4 2 1 H 1.1110 119.9998 -179.9968 5 3 1 H 1.1110 120.000 -179.9990 6 4 1 Molekula alaninu C 0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0 1.2099 0.0000 0.0000 1 0 0 c 1.511 119.7762 0.0000 1 2 0 N 1.471 109.7784 130.1012 3 1 2 C 1.5265 109.3265 10.1190 3 1 2 0 1.3611 119.7658 -178.9553 1 2 3 H 1.113 109.3101 -110.0357 3 1 2 H 1.0099 104.6531 -46.4500 4 3 1 H 1.0099 105.1970 63.7940 4 3 1 H 1.1113 110.2518 56.6209 5 3 1 H 1.1120 108.7651 176.6227 5 3 1 H 1.1116 110.3632 -63.4869 5 3 1 H 0.9598 120.5894 177.0137 6 1 2 Výhody a nevýhody reprezentace systému Kartézský systém • N atomů = 3N souřadnic (můžeme redukovat u prvních 3 atomů vhodným posunutím do souřadného systému) • Změna délky vazby, vazebného úhlu nebo dihedrálního úhlu vede ke změně souřadnic téměř celého systému Vnitřní souřadný systém = Z-matice • N atomů = 3N - 6 souřadnic • Změna délky vazby, vazebného úhlu nebo dihedrálního úhlu vede ke změně pouze uvedené souřadnice Souřadný systém pravotočivý systém ievotočivý systém Transformace ve 2D • Posunutí • Otočení kolem bodu • Změna měřítka • Zkosení Transformace ve 2D - posunutí Bod A[Ax; A ] posuneme o vektor v=(vx; v) a získáme bod B[B B] yJ B = A + v XXX X B = A + v y y y Maticový zápis: (Bx; By)T = (Ax; A/ + (vx; vy)T Transformace ve 2D - otočení Kolem počátku soustavy souřadnic o úhel cp Bx = Ax cos(cp) - A sin (cp) B = Ax s/n(cp) + A cos(cp) Transformace ve 2D - otočení Kolem libovolného bodu S[Sx; S ] o úhel (p • Jak na to? Transformace ve 2D - otočení Kolem libovolného bodu S[Sx; S ] o úhel (p • Jak na to? • Posuneme bod S i bod Atak, aby bod S byl v počátku soustavy souřadnic, provedeme otočení a nový bod posuneme v opačném směru než bylo posunutí bodu S. Transformace ve 2D - otočení Kolem libovolného bodu S[Sx; S ] o úhel cp A1 = A - SY x x X A1 A2 ) A2 = A -S y y = A*x cos(cp) - A1 sin(cp) = A*x sin(cp) + A1 cos(cp) B = A2 +S X X B =A2 +S y y y Transformace ve 2D - otočení Kolem libovolného bodu S[Sx; SI o úhel (p Bx = (Ax - Sx) cos(cp) - (Ay - Sy) sin(cp)+ S; Bv = (Ax - Sx) sin(cp) + (Av - SJ cos(cp) + S, Transformace ve 2D - změna měřítka B = m . A X XX B = m . A y y y Pokud mx = m - proporcionální změna měřítka (ze čtverce se transformací stane opět čtverec) Transformace ve 2D - zkosení • Z obdélníka se touto transformací stane rovnoběžník B = A + q . A x x ~ y B = A y y Transformace ve 2D Posunutí Změna měřítka (Bx\ — + / \ í vx B 1 l A v \ y) \ y i \ yf X \By) 1° myj \Ay) Otočení Zkosení podél osy y ,By, _(cos (cp) —sin (cp) sin {cp) cos(^) A _ (1 f A.) \By) \Ay) Transformace ve 2D • Až na posunutí lze všechny transformace popsat násobením čtvercové matice (2x2) vektorem • Zavedením homogenní souřadnice zavedeme i posunutí jako násobení čtvercovou maticí (3x3) vektorem Transformace ve 2D 'b: By \1/ / \ 1 0 0 1 o o v X v y Ay \1/ (b\ X 0 o\ B — 0 m„ 0 y 1° 0 X • Av y / li/ x B y I \ cos [q? sin (q? O -sin \cp cos() cos(qp) 0 0 • Ay bz 0 0 1 0 K \1l \ 0 0 0 l1/ Otočení ve 3D kolem osy y • V homogenních souřadnicích ba cos(^) 0 sin(^) 0 I Ax\ b 0 1 0 0 A y — . y bz -sin(^) 0 cos(cp) 0 Az 1 0 0 0 1/ 1 J Otočení ve 3D kolem osy x • V homogenních souřadnicích 10 o o\ Ia\ X. 0 cos (cp) sin(^) 0 Ay 0 -sin(^) cos(cp) 0 Az 0 0 0 1/ \ ll i \ I Změna měřítka ve 3D • V homogenních souřadnicích mx 0 0 / V - 0 m y 0 0 • Ay Bz 0 0 mz 0 \ \1l 1° 0 0 l| \1) Souměrnost ve 3D • Zvláštní případ změny měřítka - Absolutní hodnota koeficientu je rovna jedné - Středová souměrnost - Osová souměrnost - Souměrnost podle roviny Středová souměrnost ve 3D V homogenní souřadné soustavě V x B B y -1 0 0 0 o -1 o o o o -1 o o o 0 1 • y a, \1 Osová souměrnost ve 3D V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy x tBx\ By - \1l 1 o o o o -1 o o o o -1 o o o 0 1 • y l1/ Osová souměrnost ve 3D V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy y tBx\ By - \1l -1 o o o 0 1 o o o o -1 o o o 0 1 • y l1/ Osová souměrnost ve 3D V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy z tBx\ By - \1l -10 0 0 0-100 0 0 10 0 0 0 1 • y l1/ Souměrnost podle roviny ve 3D V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle roviny xy tBx\ - Bz \1l 1 o 0 1 o o o o o o -1 o o o 0 1 • y l 1 Souměrnost podle roviny ve 3D V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle roviny xz v X B B y I II 0 0 0| 0 -1 0 0 Ay K 0 0 1 0 • \° 0 0 ij / £-1 \ 1 Souměrnost podle roviny ve 3D V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle roviny yz v X B B y -1 0 0 0 0 1 o o o 0 1 o o o 0 1 • y Zkosení ve 3D podél osy z • V homogenních souřadnicích X [1 0 \ By — 0 1 0 • Bz 0 0 1 0 a, \1l 1° 0 0 \1